Завдання до контрольної роботи 150

Л. І. Кублій, М. В. Ногін

Вибрані розділи

дискретної математики

Алгебричні структури

Алгебра логіки

Математична логіка

Київ

НТУУ “КПІ”

УДК

ББК

Гриф надано Методичною радою НТУУ “КПІ”

(Протокол № від 2011 р.)

Рецензенти: Летічевський Олександр Адольфович, академік НАН України,
доктор фізико-математичних наук, професор,
Інститут кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України

Гладкий Анатолій Васильович, доктор фізико-математичних наук,
професор, Інститут кібернетики ім. В.М.Глушкова НАН України

Дичка Іван Андрійович, доктор технічних наук, професор Національний технічний університет України “Київський політехнічний інститут”

Відповідальний

редактор С.О. Лук’яненко, доктор технічних наук, професор,

Національний технічний університет України

“Київський політехнічний інститут”

ЗМІСТ

Перелік умовних скорочень 5

ВСТУП 7

АЛГЕБРИЧНІ СТРУКТУРИ 8

Частина 1. ОСНОВНІ АЛГЕБРИЧНІ СТРУКТУРИ 8

1.1. Поняття алгебри 8

1.2. Унарні й бінарні операції 9

1.3. Поняття алгебричної структури 13

1.4. Властивості бінарних операцій 13

1.5. Алгебричні структури з однією бінарною операцією 14

1.6. Алгебричні структури з двома бінарними операціями 16

1.7. Додаткові приклади, інтерпретації, властивості 18

1.8. Поняття векторного простору 20

Питання для самоконтролю 21

АЛГЕБРА ЛОГІКИ 23

Частина 2. ФУНКЦІЇ АЛГЕБРИ ЛОГІКИ 23

2.1. Алгебра Буля і алгебра логіки 23

2.2. Логічні функції однієї і двох змінних 27

2.3. Властивості елементарних логічних функцій 29

2.4. Формули в алгебрі логіки 30

2.5. Диз’юнктивні й кон’юктивні нормальні форми алгебри Буля 31

2.6. Двоїсті функції 32

2.7. Досконалі диз’юнктивні й кон’юнктивні нормальні форми 36

Питання для самоконтролю 42

Частина 3. АЛГЕБРА ЖЕГАЛКІНА 44

3.1. Поняття алгебри Жегалкіна 44

3.2. Властивості операцій алгебри Жегалкіна 45

3.3. Многочлени Жегалкіна 46

Питання для самоконтролю 51

Частина 4. ПОВНОТА І ЗАМКНУТІСТЬ СИСТЕМИ

ЛОГІЧНИХ ФУНКЦІЙ 53

4.1. Поняття повної системи функцій 53

4.2. Замикання множини логічних функцій 54

4.3. Основні замкнуті класи логічних функцій 55

4.4. Критерій Поста повноти системи функцій 57

Питання для самоконтролю 59

Частина 5. МІНІМІЗАЦІЯ ЛОГІЧНИХ ФУНКЦІЙ 60

5.1. Поняття мінімізації 60

5.2. Побудова скорочених ДНФ 62

5. 3. Побудова тупикових ДНФ. Метод імплікантних

таблиць Квайна. Метод Петрика 66

5.4. Мінімізація на основі карт Карно 70

Питання для самоконтролю 74

МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА 75

Частина 6. ЛОГІКА ВИСЛОВЛЮВАНЬ 75

6.1. Загальна характеристика логіки висловлювань 75

6.2. Висловлювання. Формули 76

6.3. Система обчислень 80

6.4. Еквівалентні перетворення формул 82

6.5. Система формального виведення 86

6.6. Система природного виведення 93

6.7. Аксіоматичні системи числення висловлювань 110

Питання для самоконтролю 122

Частина 7. ЛОГІКА ПРЕДИКАТІВ 125

7.1. Найпростіші визначення й поняття 125

7.2. Операції з предикатами 129

7.3. Формули логіки предикатів. Еквівалентні

перетворення формул 134

7.4. Пряма, обернена, протилежна теореми. Необхідна

й достатня умови 139

7.5. Випереджальні нормальні форми 141

7.6. Аксіоми числення предикатів. Формальне виведення 144

Питання для самоконтролю 148

ЗАВДАННЯ ДО КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ 150

Розділ “Алгебричні структури” 150

Розділ “Алгебра логіки” 154

Розділ “Математична логіка” 158

Список використаної літератури 164

Предметний покажчик 165

ПЕРЕЛІК УМОВНИХ СКОРОЧЕНЬ

— квантор “для всіх”;

— квантор існування;

— множина дійсних чисел;

— множина додатних дійсних чисел;

N — множина натуральних чисел;

— множина цілих чисел;

або — множина цілих невід’ємних чисел;

— множина раціональних чисел;

— множина додатних раціональних чисел;

— потужність множини А;

— строге включення;

— нестроге включення;

— елемент x належить множині X;

— елемент x не належить множині X;

— універсальна множина;

— порожня множина;

— множина всіх підмножин множини X;

— об’єднання множин А і В;

— перетин множин А і В;

— доповнення множини А до універсальної;

— різниця множин А і В;

— потужність злічуваної множини (алеф нуль)

— потужність множини континуум;

— декартів добуток множин А і В;

— декартів степінь множини А;

— обернене відношення до відношення Q;

— композиція відношень Q і S;

— степінь відношення Q;

— область визначення відношення Q;

— область значень відношення Q;

— відображення;

— відношення еквівалентності;

— відношення строгого порядку;

— відношення нестрогого порядку;

— одиничний елемент;

0 — одиничний елемент відносно додавання;

1 — одиничний елемент відносно множення;

— обернений елемент до елемента x;

— обернений елемент до елемента х відносно додавання;

— обернений елемент до елемента х відносно множення;

— додавання за модулем n;

— множення за модулем n;

— інтерпретація логічної функції, двійкове слово, булів кортеж;

— кон’юнкція;

— диз’юнкція;

— заперечення;

або — еквівалентність;

— імплікація;

— сума за модулем 2;

— алгебрична структура — булева алгебра;

— алгебрична структура — алгебра Жегалкіна;

— функція, двоїста до функції ;

— клас функцій, які зберігають нуль;

— клас функцій, які зберігають одиницю;

— клас самодвоїстих функцій;

— клас лінійних функцій;

— клас монотонних функцій.

ВСТУП

У навчальному посібнику в доступній формі викладено три важливі розділи курсу дискретної математики — алгебричні структури, алгебру логіки й математичну логіку.

При вивченні алгебричних структур розглядаються властивості операцій, наводиться класифікація простих алгебричних структур, якими є півгрупи, моноїди, групи, кільця, поля.

При вивченні алгебри логіки значна увага приділяється алгебрі Буля й алгебрі Жегалкіна. Ці алгебри є типовими прикладами загальної теорії про алгебричні структури. В алгебрі логіки також розглядається питання повноти системи логічних функцій і можливі підходи до розв’язання задачі мінімізації логічних функцій.

У частинах, присвячених математичній логіці, розглядаються логіка висловлювань (на прикладах кількох класичних її різновидів) і теорія предикатів першого порядку.

Потрібна для опанування матеріалу посібника математична підготовка обмежується поняттями розділу “Елементи теорії множин і відношення” і, звичайно ж, знаннями з елементарної математики за середню школу.

Усі ключові теоретичні поняття забезпечено достатньою кількістю задач і вправ, наведено завдання до модульної контрольної роботи.

Частини 1 – 4 написано М. В. Ногіним, частини 5 і 6 — Л. І. Кублій, частину 7 — авторами сумісно.

Посібник розрахований на студентів, які спеціалізуються в галузі прикладної математики, математичного забезпечення комп’ютерних систем, спеціального зв’язку тощо.

АлгебрИчні структури

Одним із основних завдань теорії універсальних алгебр є вивчення властивостей і взаємозв’язку аксіоматизованих класів алгебр — алгебричних структур, таких, як групи, кільця, поля тощо. Ці структури дають можливість описувати дискретну будову й дискретність функціонування кібернетичних й інтелектуальних систем.

Частина 1. ОСНОВНІ АлгебрИчні структури

1.1. Поняття алгебри

Визначення 1.1. Алгеброю (ще кажуть: універсальною алгеброю) називають непорожню множину елементів разом з операціями, визначеними і замкненими на цій множині.

Дану непорожню множину називають носієм (або основною множиною) алгебри. Якщо носієм алгебри є множина А, а її операціями є операції , то алгебру позначають так: .

Операція є замкненою (або ще кажуть: внутрішньою) на заданій множині, якщо результат її застосування до будь-яких елементів цієї множини належить цій са́мій множині.

Алгебри можна визначати на множинах N натуральних чисел, Z цілих чисел, на множині R дійсних чисел (яка не є дискретною), множині комплексних чисел К, а також на довільних множинах і відношеннях.

Приклад 1.1. Множина з операцією звичайного додавання (+) не є алгеброю, оскільки операція додавання не замкнена на цій множині: наприклад, . Але множина з операцією додавання за модулем 5 (; при цьому операція додавання за модулем m визначається так: , де , , , ) утворює алгебру , оскільки дана операція замкнена на множині : наприклад, , , .

1.2. Унарні й бінарні операції

Визначення 1.2. Операцією на множині L називають функцію f, тобто відображення виду , де . Така операція однозначна. Вона також замкнута, тобто її область визначення і область значень належать множині L.

Операцію виду називають унарною, а операцію виду — бінарною. Символи операцій називають операторами.

Приклад 1.2. Прикладами унарних операцій є:

а) зміна знака на множинах Z і R: −5; −3,1415; −18,3; ;

б) операція піднесення до степеня на множинах N, Z і R: ; (–1)²; (7,8)³; ;

в) доповнення в алгебрі множин: .

Прикладами бінарних операцій є:

а) на множині R — арифметичні дії додавання (+), віднімання (–), множення (), ділення ();

б) в алгебрі множин — об’єднання (), перетин (), різниця (), пряма сума (), яку ще називають симетричною різницею, декартів добуток ().

Бінарні операції можна записати одним із трьох способів: інфіксним (infix, яким ми звикли користуватися) — оператор ставиться між операндами; префіксним (prefix, який ще називають прямим польським записом[1]) — оператор ставиться перед операндами; постфіксним (postfix, який ще називають зворотним польським записом) — оператор ставиться після операндів.

Приклад 1.3. а) Розглянемо варіанти запису бінарної операції додавання: — infix; — prefix; + — postfix.

б) Розглянемо варіанти запису алгебричного виразу: — infix; — prefix; — postfix.

Надалі ми користуватимемося виключно інфіксним записом, проте зазначимо, що при комп’ютерній обробці інформації в алгоритмах обчислень другий і третій варіанти зручніші, оскільки в них не використовуються дужки для встановлення порядку обчислень.

Крім вказаних, добре відомих операцій — арифметичних дій і операцій над множинами, існує багато інших операцій.

Так, в алгебрі висловлювань, яка є найпростішою з формальних логічних теорій і в якій задано логічні операції над висловлюваннями[2], складні висловлювання одержують з простих за допомогою унарних і бінарних операцій (їх називають зв’я́зками): заперечення (), кон’юнкції (), диз’юнкції (), імплікації (→), еквівалентності () та ін. Розглянемо ці операції докладніше.

Запереченням висловлювання називають висловлювання , якщо воно істинне (І), коли — хибне (Х), і хибне, коли — істинне. Таблиця істинності для заперечення проста:

Кон’юнкцією двох висловлювань А і В називають висловлювання виду , яке істинне тоді і тільки тоді, коли і одночасно істинні. Таблиця істинності для кон’юнкції має такий вигляд:

Диз’юнкцією двох висловлювань А і В, називають висловлювання виду , яке істинне, якщо хоча б одне із даних висловлювань істинне. Таблиця істинності для диз’юнкції має такий вигляд:

Імплікацією двох висловлювань А і В називають висловлювання виду , якщо воно хибне тоді і тільки тоді, коли А істинне, а В хибне. Таблиця істинності для імплікації має такий вигляд:

Еквівалентністю двох висловлювань А і В називають висловлювання , якщо воно істинне тоді і тільки тоді, коли А і В обоє істинні або обоє хибні. Таблиця істинності для еквівалентності має такий вигляд:

Розглянемо також деякі інші зв’я́зки.

Штрих Шеффера (або антикон’юнкція): . Таблиця істинності для штриха Шеффера має такий вигляд:

Стрілка Пірса (або антидиз’юнкція): . Таблиця істинності для стрілки Пірса має такий вигляд:

Сума за модулем два (або антиеквівалентність): . Таблиця істинності для суми за модулем два має такий вигляд:

На основі простого логічного аналізу, зокрема аналізу таблиць істинності, зазначимо, що імплікація двох висловлювань принципово відмінна від диз’юнкції, кон’юнкції й еквівалентності, оскільки вона несиметрична. Справді, для вказаних операцій не має значення порядок операндів (тобто, вони комутативні):

, , ,

але не еквівалентне .

Розглянемо всі імплікації, які можна утворити з двох висловлювань А і В. У таблиці істинності подано чотири імплікації:

Звідси видно, що , також .

Надалі для позначення абстрактних бінарних операцій будемо використовувати символи і .

1.3. Поняття алгебричної структури

Визначення 1.3. Алгебричною структурою називають алгебру, операціями якої є одна чи дві бінарні операції і довільна кількість унарних операцій (хоча унарних операцій може й не бути).

Операції алгебричної структури мають задовольняти певні аксіоми (властивості). Залежно від кількості операцій і виконання певної сукупності аксіом розрізняють різні алгебричні структури. Ми ознайомимося з такими алгебричними структурами, як півгрупи, моноїди, групи, кільця, поля. Ця класифікація є основною не тільки для вивчення лінійної алгебри, теорії матриць, обробки числових масивів, але є також базою вивчення алгебри логіки, зокрема алгебри Буля й алгебри Жегалкіна.

1.4. Властивості бінарних операцій

Нехай на множині A визначено дві бінарні операції і .

Операції і комутативні, якщо a b=b a, a b=b a.

Операції і асоціативні, якщо , .

Якщо для будь-яких виконується рівність , то бінарна операція дистрибутивна відносно операції .

Приклад 1.4. а) На множині дійсних чисел R звичайне додавання (+) є комутативною й асоціативною операцією, а операція віднімання (–) — не комутативна й не асоціативна: , але ; , але . Також на множині R бінарна операція множення () дистрибутивна відносно додавання (+), проте додавання не дистрибутивне відносно множення: , але .

б) В алгебрі множин операції об’єднання () й перетину () комутативні: , , асоціативні: , і дистрибутивні одна відносно одної: , .

Одиницею (або одиничним елементом) для бінарної операції (чи для операції )на множині A називають такий елемент , що для будь-якого виконується рівність:

(чи ),

якщо такий елемент e існує.

Приклад 1.5. а) Якщо на множині дійсних чисел R бінарна операція є множенням (), то , а для звичайного додавання (+) .

б) В алгебрі множин для бінарної операції об’єднання () , а для операції перетину () — .

Нехай операція на множині з одиницею і два елементи , задовольняють рівності a ₁ b ₁ =b ₁ a ₁ =e ₁. Також нехай операція на множині з одиницею і два елементи , задовольняють рівності . Тоді називають оберненим елементомдо відносно операції (а — оберненим елементом до ). Відповідно, називають оберненим елементом до відносно операції (а — оберненим елементом до ).

Приклад 1.6. Якщо на множині дійсних чисел R бінарна операція є звичайним додаванням (+), то для будь-якого елемента оберненим буде елемент (), а якщо бінарна операція є операцією множення (), то для елемента оберненим буде елемент .

Нижче розглянемо класифікацію простих алгебричних структур.

1.5. Алгебричні структури з однією бінарною операцією

Найважливішими простими алгебричними структурами, які мають тільки одну бінарну операцію, є півгрупи, моноїди й групи.

Визначення 1.4. Півгрупою називають алгебричну структуру з множиною-носієм A і однією бінарною операцією , яка задовольняє тільки одну властивість — властивість асоціативності. Тобто для будь-яких виконується:

Приклад 1.7. Алгебрична структура — множина натуральних чисел з бінарною операцією звичайного додавання (+) є півгрупою.

Визначення 1.5. Моноїдом називають півгрупу з одиницею. Моноїд має такі дві властивості:

1) асоціативність — для будь-яких виконується рівність ;

2) існує одиничний елемент такий, що для будь-якого виконується рівність .

Одиничний елемент в моноїді — єдиний. Справді, якщо — інша одиниця моноїда, тоді:

Приклад 1.8. Структури , , — множини дійсних, цілих, натуральних чисел з бінарною операцією звичайного множення () є моноїдами. При цьому одиничний елемент e= 1.

Визначення 1.6. Групою називають алгебричну структуру з множиною-носієм G і однією бінарною операцією , замкнутою в G, яка має такі три властивості:

1) асоціативність — для будь-яких виконується рівність ;

2) для будь-якого існує одиничний елемент такий, що ;

3) для будь-якого існує обернений елемент такий, що .

Отже, група — це моноїд, у якому для кожного елемента існує обернений елемент.

Для довільного елемента х групи G існує лише один обернений елемент . Справді, якщо їх є два — і , тоді, враховуючи означення одиничного і оберненого елементів, а також властивість асоціативності, матимемо:

Отже, , тобто обернений елемент єдиний.

На множині дійсних чисел R, залежно від групової операції — додавання (+) чи множення (), групу називають адитивною чи мультиплікативною.

Визначення 1.7. Комутативну групу називають абелевою [3].

Таким чином, для того щоб група була абелевою, крім вказаних в означенні групи трьох властивостей, ще має виконуватися властивість комутативності, тобто для будь-яких має виконуватися рівність .

Приклад 1.9. Абелевою групою є множина дійсних чисел R з бінарною операцією звичайного додавання (+) — . Для неї одиничний елемент , обернений елемент . Проте — множина дійсних чисел з операцією звичайного множення () є моноїдом, але не групою, оскільки для елемента на множині R не існує оберненого елемента; для інших ()оберненими елементами є .

Приклад 1.10. Нехай — множина всіх квадратних матрицьпорядку n з дійсними елементами. Алгебрична структура — це комутативний моноїд, у якому одиничним елементом e є нульова матриця. Структура — некомутативний моноїд (бо ), у якому e — одинична матриця. Тут про групу не йдеться, оскільки обернена матриця не існує, якщо .На множині всіх квадратних матриць e і єдині, якщо вони існують.

1.6. Алгебричні структури з двома бінарними операціями

Розглянемо класифікацію простих алгебричних структур за наявності двох бінарних операцій: множення () і додавання (). Такими алгебричними структурами є кільце і поле.

Визначення 1.8. Кільцем називають алгебричну структуру з множиною-носієм А і визначеними на ній двома бінарними операціями і , причому:

1) множина А і операція утворюють абелеву групу, тобто операція асоціативна — для будь-яких виконується рівність , комутативна — для будь-яких виконується рівність , для будь-якого існує одиничний елемент такий, що і для будь-якого існує обернений елемент такий, що ;

2) множина А і операція утворюють півгрупу, тобто операція асоціативна — для будь-яких виконується рівність );

3) операція дистрибутивна відносно операції зліва і справа, тобто для будь-яких виконуються рівності:

Кільце комутативне, якщо на множині А операція комутативна, тобто: для будь-яких виконується рівність .

Кільце називають кільцем з одиницею, якщо існує одиничний елемент e відносно множення (тобто для будь-якого існує одиничний елемент такий, що ).

Визначення 1.9. Полем називають комутативне кільце з одиницею, в якому для кожного ненульового елемента існує обернений елемент відносно операції .

Отже, поле — це множина елементів А, на якій визначено бінарні операції і з властивостями комутативності й асоціативності, а також властивістю дистрибутивності операції відносно , крім того, відносно обох операцій існують нейтральні елементи, і для будь-якого існує обернений елемент відносно операції , і для будь-якого існує обернений елемент відносно операції .

Приклад 1.11. Множини дійсних, раціональних і комплексних чисел із звичайними операціями додавання (+) і множення () утворюють поля , , ; при цьому одиничним і оберненим (для кожного ненульового елемента) елементами для множення є , , а для додавання — , . Множина цілих чисел із операціями додавання (+) і множення () є кільцем з одиницею , але поля не утворює, оскільки для жодного елемента, крім 1 і −1, немає оберненого.

1.7. Додаткові приклади, інтерпретації, властивості

Прикладом моноїда є множина всіх перетворень довільної множини А, які мають властивість асоціативності; при цьому роль одиниці виконує тотожне перетворення.

Якщо кількість елементів скінченної множини А є її потужністю , то кількість елементів скінченної групи G (а також і півгрупи) називають порядком групи (півгрупи). Якщо множина А нескінченна, але злічувана, то її потужність дорівнює , а якщо незлічувана, то має потужність континуум с; відповідним буде й порядок групи (півгрупи).

Розглянемо приклади груп.

1. Множина Z цілих чисел утворює абелеву групу відносно операції звичайного додавання (+). Порядок групи дорівнює потужності множини Z, тобто .

2. Множина цілих невід’ємних лишків за модулем m утворює групу відносно операції додавання за модулем m (); потужність , отже, порядок групи теж дорівнює m.

3. Множина всіх підстановок з n елементів утворює групу відносно добутку; потужність .

4. Множина цілих степенів заданого числа утворює абелеву групу. Справді: , , , .

5. У комплексній площині множина коренів степеня n з одиниці , де , утворює абелеву групу відносно звичайного множення (). Справді, , , n Z, . Очевидно, що це моноїд. Доведемо, що для кожного кореня існує обернений елемент. Нехай . Тоді . Розглянемо їхній добуток, спочатку спростивши :

Звідси, в силу періодичності тригонометричних функцій, парності косинуса й непарності синуса, матимемо:

Тепер покажемо, що для всіх існують обернені елементи, а саме :

Отже, множина коренів степеня з одиниці , де є абелевою групою відносно операції множення.

Для півгрупи А підмножину називають підпівгрупою, якщо замкнута відносно бінарної операції , тобто для будь-яких виконується: .

Розглянемо приклади кілець.

1. Множина Z цілих чисел утворює кільце відносно операцій додавання (+) й множення ().

2. Множина цілих невід’ємних лишків за модулем m утворює комутативне кільце з одиницею відносно операцій додавання () й множення () за модулем m (при цьому так, що і , де , ).

Розглянемо приклади полів.

1. Множина R дійсних чисел із звичайними операціями додавання (+) й множення () є полем і містить абелеві групи і . Алгебричну структуру називають полем дійсних чисел.

2. Множина Q раціональних чисел із звичайними операціями додавання (+) й множення () є полем.

3. Множина комплексних чисел з операціями додавання (+) й множення () є полем.

1.8. Поняття векторного простору

Нехай задано множину і поле . На задано внутрішню (замкнену) бінарну операцію додавання (+) і операцію множення () елементів множини на елементи поля Р, результат якої належить . Тоді множину називають векторним простором над полем , а його елементи — векторами за умови, що — абелева група відносно додавання і для будь-яких , а також будь-яких виконуються рівності:

1) де ;

2) , де ;

3) ;

4) ;

5) .

Вектор виду при будь-яких називають лінійною комбінацією векторів . Лінійна комбінація тривіальна (нульова), якщо всі елементи , ; лінійна комбінація нетривіальна, якщо хоч би один з елементів не дорівнює нулю.

Вектори називають лінійно залежними, якщо існує їхня нетривіальна лінійна комбінація, рівна нульовому вектору, і лінійно незалежними, якщо тільки їхня тривіальна комбінація дорівнює нулю.

Якщо в існують n лінійно незалежних векторів, а будь-які векторів із лінійно залежні, то називають n-вимірним векторним простором, а число називають вимірністю векторного простору . Цей простір позначають . Якщо у просторі існує лінійно незалежна система з будь-якою кількістю векторів, то простір є нескінченно вимірним.

Систему n лінійно незалежних векторів , заданих у певному порядку, називають базисом простору , якщо довільний елемент можна однозначно подати у вигляді нетривіальної лінійної комбінації цих векторів:

При цьому числа називають координатами вектора у базисі .

Зауважимо, що поле Р може бути, наприклад, полем дійсних чисел, або полем комплексних чисел, або якимось іншим полем. У таких випадках, відповідно, кажуть про дійсний векторний простір, комплексний векторний простір, векторний простір над полем Р.

Приклад 1.12. а) Якщо при , то матимемо векторний простір скінченних (n -вимірних) дійсних векторів .

б) Якщо при , то матимемо векторний простір скінченних (n

⇐ Предыдущая 12

Поделиться с друзьями:

Дата добавления: 2017-01-28; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 566 | Нарушение авторских прав

Поиск на сайте:

Лучшие изречения:

Студент всегда отчаянный романтик! Хоть может сдать на двойку романтизм. © Эдуард А. Асадов
==> читать все изречения...
1533 - | 1325 -

© 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление