Найти условие того, что ядро с массовым числом А и зарядом Z начнет процесс спонтанного деления на 2 осколка.

Выяснить физический смысл каждого члена разложения (2.1).

 

Ответ: - описывает небольшое увеличение радиуса ядра по всем направлениям без изменения формы; - не описывает деформацию, а определяет лишь смещение центра ядра вдоль оси Z, без изменения его формы; - определяет малые квадрупольные деформации, которые могут вызвать деление ядра на 2 осколка; - характеризует процессы деления ядра на 3 осколка и т.д.

 

Задача 3. Пусть изменение энергии связи ядра происходит в результате малых квадрупольных деформаций, когда координаты точки на поверхности ядра в полярных координатах описываются функцией вида:

, (3.1)

где R_o - радиус сферического ядра

Малые параметры деформации; - квадратичный полином Лежандра (2.2).

Найти условие того, что ядро с массовым числом А и зарядом Z начнет процесс спонтанного деления на 2 осколка.

Решение:

 

Математическая справка:

1. В сферических координатах (r,ϑ, ) элемент объема тонкого сферического слоя равен:

(3.3)

2. Рассмотрим сложную фигуру, изображенную на рис.1, координаты точек поверхности которой описывается произвольной функцией . Предполагается, что тело симметрично относительно вращения вокруг оси Z. Элемент длины dl на сечении фигуры, изображенной на рис.1, равен:

При вращении отрезка dl вокруг оси Z образуется плоское кольцо площадью . Следовательно, полная площадь поверхности деформированного ядра равна:

(3.3 )

Рис.1 Сечение деформированного ядра

3.Для дальнейшего укажем значения некоторых интегралов, которые элементарно вычисляются путем замены с учетом того, что :

(3.4)

В процессе деформации атомных ядер изменяется каждый член формулы Б.В. (4), но главную роль в этом процессе играют второй (поверхностный) и третий (кулоновский) члены. Таким образом, наша задача сводится к расчетам изменения поверхностной и кулоновской энергий деформированного ядра для выбранной модели (3.1).

Так как ядерное вещество практически несжимаемо, то в процессе деформации его объем остается неизменным. Из этого условия можно найти связь параметров деформации и в формуле (3.1):

.

При вычислениях мы воспользовались формулами (3.2) и (3.4) и сохранили лишь члены порядка не выше . Из последнего соотношения для несжимаемого ядра получаем:

(3.5)

Далее вычислим изменение площади поверхности деформированного ядра. Для этого учтем формулу (3.3) и проведем приближенные расчеты, сохраняя лишь члены порядка не выше с учетом результата (3.5):

(3.6)

Тогда поверхностную энергию деформированного ядра можно вычислить по формуле:

. (3.7)

Здесь мы воспользовались также результатами задачи 1 (соотношения (1.1) и (1.3)). Сравнивая (3.7) с поверхностным членом формулы Б.В. (4):

, (3.8)

мы видим, что эффект деформации ядра сводится к формальной замене:

(3.9)

Отсюда можно оценить изменение кулоновской энергии деформированного ядра (4) путем формального перехода:

(3.10)

Тогда полное изменение энергии связи ядра, вызванное деформацией, будет равно:

(3.11)

Очевидно, ядро начнет спонтанно деформироваться, разделяясь на два осколка, если . Из формулы (3.11) мы получим окончательный результат:

(3.12)

Величина называется параметром деления, который играет определяющую роль в процессах спонтанного деления ядер.

Полученный результат позволяет объяснить, например, почему изотоп является менее стабильным относительно процессов спонтанного деления, чем изотоп . Достаточно сказать, что в природной смеси изотопов урана составляет лишь 0,3%, тогда как для изотопов эта концентрация достигает 99,7%.

 

Ответ: .