ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Понятие дифференциального уравнения.
Дифференциальным уравнением называют уравнение, которое связывает
y - неизвестную функцию
x - независимую переменную
и - различные производные от функции y по переменной x:
.
Порядком дифференциального уравнения называют наибольший порядок производной, которая входит в данное уравнение.
Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка.
Уравнение вида
(1)
называется линейным уравнением I-го порядка, где f (x) и g (x) - функции от независимой переменной x.
Если функция g (x) = 0, то линейное уравнение называется линейным однородным уравнением.
Если функция g (x) ¹ 0, то уравнение называется линейным неоднородным уравнением I-го порядка.
Решение данного вида уравнений ищется в виде произведений двух функций u и v:
y = u* v; u = u (x) и v = v (x).
подставим в (1) y = u'* v + u* v' получим:
u'* v + u* v' + f (x) * u*v = g (x),
u'* v + u* (v' + f(x)*v) = g(x) (*)
Ищем неизвестную функцию v из условия: содержимое скобки равно нулю
v' + f (x) *v = 0; 
; 
;
; 
; 
;
Учитывая операцию потенцирования 
получаем 
.
Для того, чтобы найти неизвестную функцию u, возвратимся к выражению (*):
; 
; 
;
; 
;
;
.
Линейные однородные дифференциальные уравнения II-го порядка с постоянными коэффициентами.
Уравнение вида 
, где 
- числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Чтобы найти общее решение данного уравнения, составляют характеристическое уравнение, которое имеет следующий вид
1. 
2 различных действительных корня 
. Общее решение дифференциального уравнения имеет следующий вид:
.
2. 
. Общее решение 
.
3. 
корни комплексные 
. 
.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II-го порядка с постоянными коэффициентами.
Это уравнение вида
, где
- числа,
- функция от переменной 
.
Решение данного уравнения будем искать в следующем виде
, где
- общее решение соответствующего однородного уравнения
.
- частное решение неоднородного уравнения.
Для нахождения частного решения будем использовать следующую таблицу:
Вид 
| Корни характеристического уравнения | Вид решения
|
| 1)  .
2)  .
3)  или  .
| 1) 
 .
2)  .
3)  .
|
| 1)  .
2)  или  .
| 1) 
2) 
 - кратность  для характеристического уравнения (сколько раз является корнем).
|
| 1) - корень;
2) - не является
корнем.
| 1) 
- кратность
2) 
|
РЯДЫ.
Пусть дана последовательность чисел 
Числовым рядом называется выражение вида
(1).
Числа - члены ряда.
Выражение 
- формула n -го члена.
Необходимый признак сходимости числовых рядов.
Теорема: Если ряд 
сходится, то предел общего члена 
Достаточные признаки сходимости:
Теорема 1 (признак сравнения): Пусть даны 2 положительных ряда:
(1) и
. (2)
Если между членами этих рядов выполняется неравенство 
, то из сходимости ряда (2) будет следовать сходимость ряда (1) и из расходимости ряда (1) будет следовать расходимость ряда (2).
Теорема 2 (признак Даламбера):
Если для положительного ряда выполняется следующее условие 
, то если l < 1 - ряд будет сходиться,
если l > 1 - ряд будет расходиться.
Теорема 3 (признак Коши):
Если для положительного ряда выполняется следующее условие 
, то если l < 1 - ряд будет сходиться,
если l > 1 - ряд будет расходиться.
Теорема (признак Лейбница) Если в знакочередующемся ряде все члены таковы, что
и 
, то числовой ряд сходится.
Степенные ряды.
Ряд вида 
(1), где
- числа, а
- переменная, называется степенным рядом.
Теорема 2: Если для ряда (1) существует 
, то радиус сходимости степенного ряда 
.
Разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций (эти разложения следует запомнить):
, 
, (10.4)
, , (10.5)
, , (10.6)
,
(10.7)
, 
, (10.8)
, 
, (10.9)
, 
, (10.10)
, (10.11)
, (10.12)
, , (10.13)
, . (10.14)
