Упражнения для домашней работы

Практикум по дифференциальной геометрии и топологии

Аудиторная работа № 9

 

Тема: Понятие поверхности. Способы задания поверхностей (продолжение)

 

3. Дан открытый сферический треугольник, высекаемый на сфере радиуса 2 с центром в точке О трехгранным углом ОАВС с прямыми плоскими углами при вершине.

1) Запишите его скалярные и векторное параметрические уравнения в декартовых координатах х, у, z, совмещая положительные полуоси Ох, Оу, Оz с лучами ОА, ОВ, ОС соответственно, и выбирая параметры u и v точки поверхности также, как и в упражнении 2.

2) Является ли полученная параметризованная поверхность регулярной, если «да», то какого класса регулярности?

3) Найдите внутренние координаты точки Р (1; 1; ) сферического треугольника относительно этой параметризации.

4) Запишите уравнения координатных линий, проходящих через нее, во внутренних координатах u, v и параметрические уравнения в декартовых координатах х, у, z.

5) Изобразите эти координатные линии на рисунке, а также их прообразы в параметрической плоскости.

Ответ: 1) х = 2cosu cosv, y = 2cosu sinv, z = 2sinu, (u;v) (0; ) х (0; );

= (cosu cosv; cosu sinv; sinu), (u;v) (u;v) (0; ) х (0; ).

2) .

3) Р (u = , v = ).

4) u = , v = ; х = cosv, y = sinv, z = , где v (0; ), х = cosu, y = cosu, z = 2sinu, где u (0; ).

4. Параметризуйте в декартовых координатах х, у, z открытый сферический треугольник из упражнения 3, введя систему координат Охуz аналогичным образом и взяв в качестве параметров произвольной точки этой поверхности ее абсциссу p и ординату q. Является ли данная параметризованная поверхность регулярной, если «да», то какого класса?

Ответ: х = p, у = q, z = , где < 4, p 0, q 0. .

 

Упражнения для домашней работы

 

3. Дан открытый сферический треугольник, высекаемый на единичной сфере с центром в точке О трехгранным углом ОАВС с прямыми плоскими углами при вершине.

1) Запишите его скалярные и векторное параметрические уравнения в декартовых координатах х, у, z, совмещая положительные полуоси Ох, Оу, Оz с лучами ОА, ОВ, ОС соответственно, и выбирая параметры m и n точки поверхности также, как и в упражнении 2.

2) Является ли полученная параметризованная поверхность регулярной, если «да», то какого класса регулярности?

3) Найдите внутренние координаты точки М (; ; ) сферического треугольника относительно этой параметризации.

4) Запишите уравнения координатных линий, проходящих через нее, во внутренних координатах m, n и параметрические уравнения в декартовых координатах х, у, z.

5) Изобразите эти координатные линии на рисунке, а также их прообразы в параметрической плоскости.

Ответ: 1) х = sin m sin n, y = sin m cos n, z = cos m, где (m; n) (0; ) х (0; );

= (sin m sin n; sin m cos n; cos m), где (m; n) (0; ) х (0; ).

2) .

3) М (m = , n = ).

4) m = , n = ; х = sin n, y = cos n, z = , где n (0; ), х = sin m, y = sin m, z = cos m, где m (0; ).

4. Параметризуйте в декартовых координатах х, у, z открытый сферический треугольник из упражнения 3, введя систему координат Охуz аналогичным образом и взяв в качестве параметров произвольной точки этой поверхности ее ординату s и аппликату t. Является ли данная параметризованная поверхность регулярной, если «да», то какого класса?

Ответ: х = , у = s, z = t, где < 1, s 0, t 0. .

 

Дополнительные задания (для желающих)

 

1. Являются ли параметризации = (2cosu cosv; 2cosu sinv; 2sinu), где (u;v) (0; ) х (0; ), и = (p, q, ), где < 4, p 0, q 0, рассмотренного ранее сферического треугольника, эквивалентными? Если «да», то какого класса? Задайте формулами диффеоморфизм замены параметров u, v на параметры p, q.

Ответ. Да. . p = 2cosu cosv, q = 2cosu sinv, где (u; v) (0; ) х (0; ).

2. Дана открытая единичная полусфера, центр которой совпадает с началом декартовой системы координат Охуz, проходящая через точку (0; 0; 1). Задайте ее: а) неявно; б) явно; в) параметрически в указанных координатах.