Практикум по дифференциальной геометрии и топологии
Аудиторная работа № 9
Тема: Понятие поверхности. Способы задания поверхностей (продолжение)
3. Дан открытый сферический треугольник, высекаемый на сфере радиуса 2 с центром в точке О трехгранным углом ОАВС с прямыми плоскими углами при вершине.
1) Запишите его скалярные и векторное параметрические уравнения в декартовых координатах х, у, z, совмещая положительные полуоси Ох, Оу, Оz с лучами ОА, ОВ, ОС соответственно, и выбирая параметры u и v точки поверхности также, как и в упражнении 2.
2) Является ли полученная параметризованная поверхность регулярной, если «да», то какого класса регулярности?
3) Найдите внутренние координаты точки Р (1; 1; 
) сферического треугольника относительно этой параметризации.
4) Запишите уравнения координатных линий, проходящих через нее, во внутренних координатах u, v и параметрические уравнения в декартовых координатах х, у, z.
5) Изобразите эти координатные линии на рисунке, а также их прообразы в параметрической плоскости.
Ответ: 1) х = 2cosu cosv, y = 2cosu sinv, z = 2sinu, (u;v) 
(0; 
) х (0; );
= (cosu cosv; cosu sinv; sinu), (u;v) (u;v) (0; ) х (0; ).
2) 
.
3) Р (u = 
, v = ).
4) u = , v = ; х = cosv, y = sinv, z = , где v (0; ), х = cosu, y = cosu, z = 2sinu, где u (0; ).
4. Параметризуйте в декартовых координатах х, у, z открытый сферический треугольник из упражнения 3, введя систему координат Охуz аналогичным образом и взяв в качестве параметров произвольной точки этой поверхности ее абсциссу p и ординату q. Является ли данная параметризованная поверхность регулярной, если «да», то какого класса?
Ответ: х = p, у = q, z = 
, где 
< 4, p 
0, q 0. 
.
Упражнения для домашней работы
3. Дан открытый сферический треугольник, высекаемый на единичной сфере с центром в точке О трехгранным углом ОАВС с прямыми плоскими углами при вершине.
1) Запишите его скалярные и векторное параметрические уравнения в декартовых координатах х, у, z, совмещая положительные полуоси Ох, Оу, Оz с лучами ОА, ОВ, ОС соответственно, и выбирая параметры m и n точки поверхности также, как и в упражнении 2.
2) Является ли полученная параметризованная поверхность регулярной, если «да», то какого класса регулярности?
3) Найдите внутренние координаты точки М (
; ; 
) сферического треугольника относительно этой параметризации.
4) Запишите уравнения координатных линий, проходящих через нее, во внутренних координатах m, n и параметрические уравнения в декартовых координатах х, у, z.
5) Изобразите эти координатные линии на рисунке, а также их прообразы в параметрической плоскости.
Ответ: 1) х = sin m sin n, y = sin m cos n, z = cos m, где (m; n) (0; ) х (0; );
= (sin m sin n; sin m cos n; cos m), где (m; n) (0; ) х (0; ).
2) .
3) М (m = , n = ).
4) m = , n = ; х = sin n, y = cos n, z = , где n (0; ), х = sin m, y = sin m, z = cos m, где m (0; ).
4. Параметризуйте в декартовых координатах х, у, z открытый сферический треугольник из упражнения 3, введя систему координат Охуz аналогичным образом и взяв в качестве параметров произвольной точки этой поверхности ее ординату s и аппликату t. Является ли данная параметризованная поверхность регулярной, если «да», то какого класса?
Ответ: х = 
, у = s, z = t, где 
< 1, s 0, t 0. .
Дополнительные задания (для желающих)
1. Являются ли параметризации = (2cosu cosv; 2cosu sinv; 2sinu), где (u;v) (0; ) х (0; ), и 
= (p, q, ), где < 4, p 0, q 0, рассмотренного ранее сферического треугольника, эквивалентными? Если «да», то какого класса? Задайте формулами диффеоморфизм замены параметров u, v на параметры p, q.
Ответ. Да. . p = 2cosu cosv, q = 2cosu sinv, где (u; v) (0; ) х (0; ).
2. Дана открытая единичная полусфера, центр которой совпадает с началом декартовой системы координат Охуz, проходящая через точку (0; 0; 1). Задайте ее: а) неявно; б) явно; в) параметрически в указанных координатах.
