Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Вопросы к экзамену – 2 семестр

 

Интегральное исчисление функций одной переменной

1. Как определяется первообразная для заданной функции ?

2. Какими свойствами обладают первообразные?

3. Как называется множество всех первообразных для одной функции?

4. Какими свойствами обладает неопределенный интеграл?

5. Как выглядит таблица неопределенных интегралов?

6. Какая формула называется формулой интегрирования по частям?

7. Какие интегралы берутся с помощью формулы интегрирования по частям?

8. Что такое рациональная дробь?

9. Какая рациональная дробь называется правильной? Неправильной?

10. Какие рациональные дроби называются простейшими?

11. В каком виде может быть представлена правильная рациональная дробь?

12. Как вычисляются интегралы вида ?

13. Как вычисляются интегралы вида ?

14. Как вычисляются интегралы вида ?

15. Как вычисляются интегралы вида ?

16. Какая подстановка называется универсальной тригонометрической подстановкой? Как выглядят формулы такой подстановки?

17. Что называется определенным интегралом от функции по промежутку ?

18. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

19. Для какого класса функций существует определенный интеграл?

20. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

21. Какой интеграл называется интегралом с переменным верхним пределом? От какой переменной он зависит и как вычисляется производная от него по этой переменной (теорема Барроу)?

22. Какая формула называется формулой Ньютона – Лейбница и для чего она применяется?

23. Как выглядит формула интегрирования по частям в определенном интеграле?

24. Как с помощью определенного интеграла вычисляется площадь области, ограниченной кривыми, заданными в декартовой системе координат?

25. Как определяется несобственный интеграл 1 рода?

26. Какой несобственный интеграл 1 рода называется сходящимся? Расходящимся?

27. При каких значениях параметра несобственный интеграл 1 рода является сходящимся? Расходящимся?

28. Как формулируется признак сравнения несобственных интегралов 1 рода?

29. Как формулируется предельный признак сравнения несобственных интегралов 1 рода?

30. Какой несобственный интеграл 1 рода называется абсолютно сходящимся?

31. Как определяется несобственный интеграл 2 рода?

32. Какой несобственный интеграл 2 рода называется сходящимся? Расходящимся?

33. При каких значениях параметра несобственный интеграл 2 рода является сходящимся? Расходящимся?

 

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1. Как определяется прямое произведение множеств?

2. Как определяется функция переменных?

3. Как определяется расстояние между точками в пространстве ?

4. Что такое окрестность и проколотая окрестность точки в пространстве ?

5. Что называется пределом функции двух переменных в заданной точке?

6. Какая функция двух переменных называется непрерывной в точке?

7. Как определяется частная производная по функции двух переменных?

8. Как определяется частная производная по функции двух переменных?

9. Каков геометрический смысл частных производных функции двух переменных?

10. Какая функция двух переменных называется дифференцируемой в точке?

11. Какое условие является необходимым для дифференцируемости функции двух переменных в некоторой точке?

12. Какое условие является достаточным для дифференцируемости функции двух переменных в некоторой точке?

13. Как выглядит формула производной сложной функции двух переменных?

14. Как выглядит формула полной производной функции двух переменных?

15. Что такое дифференциал функции двух переменных? Как записывается его формула?

16. Какой вид имеют уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке ?

17. Как определяются производные второго порядка функции двух переменных?

18. Какому условию удовлетворяют смешанные производные функции двух переменных?

19. Как выглядит формула второго дифференциала функции двух переменных?

20. Функция двух переменных имеет в точке минимум. Что это означает по определению?

21. Функция двух переменных имеет в точке максимум. Что это означает по определению?

22. В чем состоит необходимое условие экстремума функции двух переменных?

23. Как формулируются достаточные условия экстремума функции двух переменных?