. e 1^ e 2^ e 3. a ik, b ki , - , x, y, z. . , , . - . . , .
. . , , , (. 7) (. 7) .
. 7. . | . 7. . |
( 1,2,32,3,13,1,2) , .. . , , , :
e 1´ e 2= e 3, e 2´ e 3= e 1, e 3´ e 1= e 2, e 1´ e 1= e 2´ e 2= e 3´ e 3º0. a´b c (. 8), , - , a b , c. c , -.
. 8. . | . 9. () () . |
(. 7) ( ). , c . 8 , .. . , , , . (.. ) . , , , . , . (, , ..) .
|
|
, - c , . (. . 9.). . , .
. e 1, e 2, e 3 . e 1, e 2, e 3 ( ) (4)-(6). , e 2´ e 3= e 1, (4) . , | e 1|=1, , e 1= e 1. (5) e 2= e 2, (6), e 3= e 3. .
. . , , , . , L, L-1 ( , ). -, -. [3] . , .
, . (22) . .
A - Ai = A×e i, Ai = A×e i. , A= Ak e k, A= Ak e k:
|
|
, . (23)
g ik = e i × e k ( g ik = e i × e k) , . , ds xi xi + dxi ,
. (24)
ds 2= gikdxidxk. ,
, . (25)
(25), d ik d ik , (24) , , ds 2= dxidxi = dxidxi, , , .
(24) gik - . , gik, gik ( (24), , ..). (23), , , , "" "" . , : gik = gki, gik = gik.
, , , . , , , . .
1) . (). , . Aik Bik, , , , : Cik = Aik + Bik. Siklpq Tiklpq, Uiklpq = Siklpq + Tiklpq. . . , U 21311 U 21311 = S 21311+ T 21311.
2) . l , l-. . , Rik l Wik =l Rik,
.
3) . ( -1). , Uiklpq Siklpq Tiklpq Uiklpq = Siklpq +(-1)× Tiklpq, .. Uiklpq = Siklpq - Tiklpq.
4) . , -. -. , 2- Aik Bik. 4- Ciklm, Ciklm = AikBlm. , -. , - (l m i k), ( ). . , - , ..
|
|
.
5) . . . , , Cjrwzt, Qfgvx Dinm:
( s , p q , ), () , Tijk, - , , i k.
, , .
, : , . , , , . , T pp k . , ,
,
, (22),
,
T' pp k =b jkT pp j =b jk (T 11 j + T 22 j + T 33 j).
, . n n -2. , , . , , , .
. , . , .
- .
. .
. , , . i k, .
, (26)
, Aikjm i k. Biklmnp l m. Ciklmjp, i l, j, p.
, , .. (26)
. (27)
, (27) . , Ciklmjp . , . , , Tik (i = k º1) T 11=- T 11. , T 11º0.
|
|
. , , 9, , (28), 6, 4 ( 0- ).
. (28)
. , . , . ,
.
Sik, Aik. , , .
. Sik Aik Tik .
,
, "". Tik Tki . , , , . . , . ( . alternate ) , . .
(28) 3 . Aik (22). Alm =- Aml
, (29)
l m : 12, 23, 31. A 12=- A 21º A 3, A 31=- A 13º A 2, A 23=- A 32º A 1 Alm º An ( l, m n ), , .. A'ik º A'r, i, k, r . (29) , ,
. (30)
(30) , .. .
(12) e 'i e l e 'i =α il e l. , (30)
. (31)
(31) , . , , (30) i, k, r: (e ' i ´ e ' k)= e ' r. (30)
. (32)
, , , ..(e ' i ´ e ' k)=- e ' r, (32)
. (33)
(32), (33) , ( Ar) , .. . , () () . . , .
. . , , () ().
|
|
- D (13) α ik . , D=1. , - . (25)
, (34)
d ik . [1] (34), det||d ik ||=det||α il ||×det||α lk || , det||α lk ||= det||α il ||ºD,
,
D2=1, .
[1] D=1 "" "". , D=1 , . x' 1= x 1, x' 2= x 2, x' 3= x 3, D=1 . x' 1= x 2, x' 2=- x 1, x' 3= x 3, p/2 x 3 (. . 10).
| |||
. 10. . | . 11. . |
D=-1 , (. 9) . . , . , , . x' 1=- x 1, x' 2= x 2, x' 3= x 3,
,
. 11.
- , , . P ikl
, (35)
D=det||α im || - . , Dº1, (35) ,
.
, , , . , , , ( , , "" [4]) . .
, . , - - (r 1´ r 2)× r 3 V , (. 12). V ,
, r3 (r1´r2). , , . , , (35), .. (. [5], . 123) . (36) , r1 r2 . 12 , V' V . | |
. 12. . |
, V , . , , , - .
e ikl =(e i ´ e k)× e l, - e 1, e 2, e 3 -. d ik . , Tikl , P=e iklTikl , Tik , P i = e iklTkl , , Tkl = AkBl, (A ´ B). -
, (35), ( ) :
- , ;
- ;
- .
, "" ( ) , . , , ó , , , . , , .
, , ( ), (, ), , , [2] .. , . , Tik [2]
, (37)
.
, B, Tik A, A. , B= l A (l ), A,
. (38)
Ai, (38), (23) Ai = gikAk. (38)
. (39)
gik , i (39), k, , .
(39) , gik= d ik , Ak Ak. d ik (. (25))
(40)
(40) A= (A 1, A 2, A 3). (A ¹0) (40), [1], , . ,
, (41)
Tik. , l l1,2,3, () .
ls (40) Ai s, . , Ai ( s ) . , A ( s ), , .
, (40) () A ( s )
, (42)
. () , , A 1( s ), , (42).
l s. (41) . [1] (40) Tik , . , Tik , , (40) ( . [5]), . , (41) , .
- x'i. , a im xm, T'ik =a im a knTmn ,
. (43)
(37) ( ), (. 13) l s -1/2. l1=l2=l3ºl (. 14),
, (44)
, . , - , , .. .
. 13. . | . 14. . |
, . , , , , , , . , , , . , ds ( ) . ds.
(40),
.
, l, l2, l3 , , , . , , , , , :
,
, (45)
.
, I 1=l1+l2+l3, I 2=l1l2+l1l3+l2l3 3- I 3=l1l2l3, (, l1,l2,l3 ), [1].
I 1, I 2, I 3 . . . , , I 12-2 I 2= TikTik ºinv, I 12=(Tii)2ºinv.
I 1=0 . , Dik .
.
- . .