Диференціал функції однієї змінної

Похідна функції та диференціал. Наближенні обчислення

Поняття похідної

Нехай функція у = f(x) визначена на деякому проміжку X. Візьмемо довільну точку х₀ є X і надамо аргументу довільний приріст ∆ х ≠ 0 такий, щоб точка х = х₀ + ∆ х є X.

Функція набуде при цьому приросту ∆ у = ∆ f (х₀) = f (x) - f(x₀).

∆ х = х - х₀ - приріст аргументу,

∆ у = ∆ f (х₀) = f(x₀ + ∆ х)- f (x₀) - приріст функції.

Похідною функції у = f(x) в точці х₀ називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли при­ріст аргументу прямує до нуля, тобто

,

де у'; f'(x); у'_х - позначення похідної, запропоноване Нью­тоном;

- позначення Лейбніца похідної функції у = f(x).

Операція шукання похідної називається диференціюванням. Функція у = f(x) називається диференційованою в точці х₀, якщо існує похідна цієї функції в цій точці.

Геометричний та механічний зміст похідної

Дотичною до кривої в даній точці М називається гра­ничне положення січної MN, коли точка N наближається вздовж кривої до точки М.

Значення похідної в точці х₀ дорівнює кутовому коефіці­єнту дотичної до графіка функції в точці х₀ і дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до додатного напряму осі ОХ:

де k - кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції.

y = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) - рівняння дотичної дографіка функції у = f(x) в точці з абсцисою х₀.

Фізичний зміст похідної

Якщо S = S(t) - залежність пройденого шляху від часу, то:

1) v = s'(t) - швидкість прямолінійного руху;

2) а = V’(t) - прискорення прямолінійного руху.

Похідні основних елементарних функцій

Основні правила диференціювання функцій, заданих аналітично

Нехай С - стала і и та v - диференційовані функції. Тоді:

1. Похідна алгебраїчної суми двох диференційованих функцій дорівнює відповідній алгебраїчній сумі похідних цих функцій: .

2. Похідна добутку двох диференційованих функцій до­рівнює сумі добутків похідної першої функції на другу функцію і першої функції на похідну другої функції:

3. Сталий множник можна винести за знак похідної: ,

де С - константа (число).

4. Похідна частки двох диференційованих функцій дорі­внює дробу, знаменником якого є квадрат знаменника цього дробу, а чисельником - різниця між добутком похідної чисель­ника на знаменник і добутком чисельника на похідну знаменни­ка:

5. Похідна складеної функції дорівнює добутку похідної функції у = f (u) за проміжним аргументом и на похідну проміж­ного аргументу за х. Якщо у = f (u (x)), то

Приклад. Знайти похідну функції у =

Розв'язання

Функція у - складена: и(х) = ; f(u) = .

, у' = Відповідь

Похідні вищих порядків

Похідною другого порядку функції у = f(x) в точці х нази­вається похідна від функції f'(x) (похідна від похідної першого порядку цієї функції), тобто

Позначення похідної другого порядку: y”; f”(x); .

Приклад. Знайти похідну другого порядку функції

Розв'язання

,

Відповідь. 4.

Диференціал функції однієї змінної