Теорема Ферма: пусть функция 
определена в замкнутом промежутке [a,b]. Внутренняя точка с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение
- в этой точке существует конечная производная 
. Тогда 
.
Геометрический смысл этой теоремы заключается в следующем: При выполнении условий теоремы в указанной точке 
т.е. касательная к кривой в этой точке параллельна оси OX. если y=f(x) определена [a,b] (.)c=max(min)
Тогда .
Теорема Ферма может быть неприменима, если в точке C конечной производной нет
Теорема Ролля.
пусть функция
1. определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b]
2. существует конечная производная 
хотя бы в отдельном промежутке (a,b)/
3. На концах промежутка функция принимает равные значения 
Тогда между a и b найдется такая точка c, что
если y=f(x) Определена в [a,b] не прерывна в (a,b) тогда f(a)=f(b).
геометрический смысл в том, что при выполнении условий теоремы найдется такая точка C, что в указанной точке , т.е. в указанной точке касательная перралельна оси OX.
Теорема Лагранжа.
пусть функция
- определена и не прерывна в замкнутом промежутке [a,b].
- существует конечная производная хотя бы в определенном промежутке 
.
тогда между a и b найдется такая точка c, что 
полученная формула называется формулой Лагранжа.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий..
Касательная в точке c параллельна [a,b].
Угловой коэффициент Хорды равен угловому коэффициенту касательной.
Хорда- отрезок соединяющий две точки окружности
Теорема Коши.
Пусть функции 
и 
1.определена в замкнутом промежутке [a,b]
2.имеет конечные производные и 
хотя бы в прoмежутке (a,b)
3. 
в промежутке (a,b) тогда между a и b найдется такая точка c, что 
Правило Лапиталя
предел отношения двух бесконечно малых или больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному) если такой преднл существует в указанном смысле.
Т.е. если имеется неопределенность вида 
или 
, то 
Неопределенность это выражение вида: 
/
Пример: найти 
имеем неопределенность вида .
Применяя правило Лапиталя получим:
Пример: Найти 
, опять неопределима тогда берем вторую производную 
.
пример:
в данном случае имеем не определенность
Пример:
применяем правило Лапиталя: 
неопределенность вида остается
применяем правило Лапиталя еще раз получим
Правило Лапиталя можно применять так же и для раскрытия неопределенностей вида 
Для этого произведение f(x)*g(x) следует записать в виде 
или 
получить неопределенность вида: или
пример: 
.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
1. 
Эквивалентные бесконечные величины при 
.
2. 
имеем неопределенность ,
3. 
имеем неопределенность .
4. имеем неопределенность .
5. неопределенность вида 
имеем сложно показательную функцию дифференцировать такую функцию можно при помощи логарифмического дифференцирования т.е. дифференцирование после предельного логарифмирования т.е.
Используем соотношение на основе свойств логарифмов и непрерывности показательной функции.
согласно этой формуле
7. имеем неопределенность 
.
Преобразуем предел:
найдем отдельно предел по правилу Лапиталя: 
пример1. 
2. 
пример: найти дифференциал функции 
точке x=2
1. выделяя линейеую относительно 
часть приращения функции 
2. по формуле 
.
Решение:
1.прирощение функции
Выделяя линейную относительно 
x часть прирощения функции получаем что 
2. Дифференциал функции
II. Задание и указания обучающимся по подготовке к практическому занятию
При подготовке к практическому необходимо изучить основную и дополнительную литературу.
