Расчет однофазных линейных электрический цепей переменного тока.

К зажимам электрической цепи подключен источник синусоидального напряжения u=U_msin(ωt+ψ_u) частотой f=50 Гц. Амплитуда, начальная фаза напряжения и параметры элементов цепи заданы в таблице 2.1. Схема замещения цепи приведена на рис. 2.1.

 

Выполнить следующее:

 

1) начертить схему замещения электрической цепи, соответствующую варианту, рассчитать реактивные сопротивления элементов цепи;

 

2) определить действующие значения токов во всех ветвях цепи; 3) записать уравнение мгновенного значения тока источника; 4) составить баланс активных и реактивных мощностей; 5) построить векторную диаграмму токов, совмещенную с

 

топографической векторной диаграммой напряжений.

 

 

Таблица. 2.1. Исходные данные

 

Um, В ψu, град	R1, Ом	R2, Ом	L1, мГн L2, мГн	C1, мкФ C2, мкФ
					31,8	50,9
		a	I1	a			a
				I2		I	R2
						3
		U			L1	С2	b
						L2
			С1			I4
					R1
		e		d			c

 

Рис.2.1. Схема замещения электрической цепи.

 

Решение.

 

2.1. Схема замещения электрической цепи представлена на рис. 2.1. Определим реактивные сопротивления элементов цепи:

 

= 2 f =2×3,14×50=314рад/с;

 

X _{L 1}= L ₁=314×31,8×10^-3=10Ом;

 

X _{L 2}= L ₂=314×50,9×10^-3=16Ом;

 

Лист

 

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

XС 1

= 1 =

= 10 Ом;

С 1

314 × 318 ×10-6

XС 2

= 1 =

= 16 Ом.

С 2

314 ×199 ×10-6

2.2. Определим комплексные сопротивления ветвей цепи (рис. 2.2):

I1

U

Z 2

I2

I3

Z 4

I4

Z 1

Z 3

Рис.2.2. Схема с комплексными сопротивлениями.

Z 1= - jX C 1= - j 10=10 e - j 90° Ом;

Z 2= jX L 1= j 10=10 e j 90°Ом;

Z 3= - jX C 2= - j 16=16 e - j 90° Ом;

Z

= R

+ R

+ jX

L 2

= 10 + 20 + j 16 = 30 + j 16 = 34 e j 28,1°

Ом.

Находим комплексное сопротивление параллельного участка цепи:

Z 234

=

=

=

+

+

+

+

Z 2

Z 3

Z 4

10 e j

90°

16 e - j 90°

34 e j 28,1°

=

0,1 e - j 90° + 0,0625 e j 90° + 0,0294 e - j 28,1° =

- j 0,1+ j 0,0625+0,0259- j 0,0138

=

=

=

= 17,39 e j 63,2° = 7,84 + j 15,52 Ом.

0,0259 - j 0,0513

0,0575 e - j 63,2°

Находим эквивалентное сопротивление всей цепи:

Z экв

= Z 1+ Z 234= - j 10+7,84+ j 15,52=7,84+ j 5,52=9,59 e j 35,1° Ом.

Запишем комплекс действующего значения напряжения на входе цепи:

Um

× e

j u

=

e

j 60°

= 38,18 e

j 60°

В.

U

=

Лист

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Определим комплексные значения токов ветвей цепи, воспользовавшись законом Ома:

 

38,18 e

j 60°

I 1

=

U

=

=3,98 e j 24,9°

= 3,61 + j 1,68 А;

Z экв 9,59 e j 35,1°

j 24,9°

×17,39 e

j 63,2°

= 69,21 e

j 88,1°

В;

U 2= U 3

= U

4 = U 234

= I 1× Z 234=3,98 e

69,21 e

j 88,1°

I 2

=

U 2

=

= 6,92 e - j 1,9° = 6,92 - j 0,23 А;

Z 2

10 e j 90°

69,21 e

j 88,1°

I 3

=

U 3

=

=4,33 e j 178,1°

= -4,33 + j 0,14 А;

Z 3

16 e - j 90°

69,21 e

j 88,1°

I 4

=

U 4

=

= 2,04 e j 60° = 1,02 + j 1,77 А.

Z 4

34 e j 28,1°

2.3. Запишем уравнение для мгновенного значения тока источника:

 

i ₁(t)=3,98 2 sin(314 t + 24,9°) = 5,63sin(314 t + 24,9°) А.

 

2.4. Составим баланс активных и реактивных мощностей.

 

Находим мощность источника:

 

~	*	= 38,18 e	j 60°	× 3,98 e	- j 24,9°	= 151,96 e	- j 35,1°	=124,32 + j 87,38 ВА,
Sист	= U × I
т.е. Pист = 124,32 Вт,	Qист = 87,38 вар.

 

Находим активную P_пр и реактивную Q_пр мощности приемников:

 

P_пр = I ₄²(R ₁+ R ₂)=2,04²×(10+20)=124,85Вт;

 

Q_пр = I ₁²(- X _{C 1})+ I ₂² X _{L 1}+ I ₃²(- X _{C 2})+ I ₄² X _{L 2}=3,98²×(-10)+6,92²×10+

 

+ 4,33² × (- 16) + 2,04² ×16 = 87,06 вар.

 

Т.к. P_ист ≈ P_пр, Q_ист ≈ Q_пр, то баланс мощностей получился.

 

2.5. Определим напряжения на элементах схемы замещения цепи.

 

U_{C 1}= I ₁× X_{C 1}=3,98×10=39,8В;

U _{L 1}= I ₂× X _{L 1}=6,92×10=69,2В;

U_{C 2}= I ₃× X_{C 2}=4,33×16=69,28В;

U _{R 1}= I ₄× R ₁=2,04×10=20,4В;

U _{R 2}= I ₄× R ₂=2,04×20=40,8В;

U _{L 2}= I ₄× X _{L 2}=2,04×16=32,64В.

 

Лист

 

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

Задаемся масштабами по току и напряжению:

 

M_I = 1 А/см, М_U = 5 В/см.

 

Определяем длины векторов токов и напряжений:

 

I 1

=

I 1

=

3,98

= 3,98 см;

M I

I 2

=

I 2

=

6,92

= 6,92 см;

M I

I 3

=

I 3

=

4,33

= 4,33 см;

M I

I 4

=

I 4

=

2,04

= 2,04 см;

M I

U =

U

=

38,18

= 7,64 см;

MU

U C 1

=

UC 1

=

39,8

= 7,96 см;

MU

U L 1

=

U L 1

=

69,2

= 13,84 см;

MU

U C 2

=

UC 2

=

69,28

= 13,86 см;

MU

U R 1

=

U R 1

=

20,4

= 4,08 см;

MU

U R 2

=

U R 2

=

40,8

= 8,16 см;

MU

U L 2

=

U L 2

=

32,64

= 6,53 см.

MU

 

Векторная диаграмма токов, совмещенная с топографической диаграммой напряжений, построена на рис. 2.3.

 

На комплексной плоскости откладываем в масштабе векторы токов, в соответствии с расчетными значениями, при этом положительный фазовый угол отсчитываем от оси (+1) против часовой стрелки. Построение векторов напряжений ведем, соблюдая порядок расположения элементов цепи и ориентируя векторы напряжений относительно соответствующих векторов токов: на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, на индуктивном элементе напряжение опережает ток на 90^о, а на емкостном напряжении отстает от тока на 90^о.

 

Лист

 

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата

	+j	a
	UR2
	U	UL1=UC2
	I4	I1
I3	e
b	+1
	UL2	I2
	UC1	c
		UR1
		d
Рис.2.3. Векторная диаграмма.

 

Лист

 

Изм. Лист

№ докум.

Подпись Дата