Средняя производительность

– средний темп изменения у при увеличении фактора от нуля до заданного значения х_i.

.

при

;

при ;

при

.

Коэффициент эластичности

Для линейной регрессии коэффициент эластичности равен:

Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов изменится результат производства (у) при изменении фактора (х) на 1%.

При , коэффициент эластичности равен:

, т.е. при изменении фактора на 1% результат изменится на 0,21%.

 

 

при х=52

.

Коэффициент эластичности:

;

при х=50 коэффициент эластичности равен

,

т.е. при изменении (х) на 1% величина (у) изменится на 0,76%.

 

 

Демонстрационная задача № 3

Используя данные о фактической величине потерь на холостые повороты и заезды тракторных агрегатов при выполнении полевых работ в зависимости от длины гона, определить расчетные значения величины потерь, величину корреляционного отношения, его ошибку, критерий достоверности и доверительные границы корреляционного отношения.

Таблица 7

Исходные данные

№ п/п (j)	Фактическая величина потерь, % (yj)	Длина гона, км (xj)
	16.8	0.4
	10.8	0.7
	6.2	1.0
	6.0	1.3
	4.0	1.6
	3.8	1.9
	3.1	2.2
	16.0	0.5
	13.8	0.6
	12.1	0.7
	10.0	0.8
	9.0	0.9
	5.8	1.0
	8.1	1.1

Решение

Для определения зависимости между значением фактической величины потерь на холостые повороты и заезды тракторных агрегатов при выполнении полевых работ и длиной гона построим график в двухмерной системе координат (x,y), где у – величины потерь на холостые повороты (%) и заезды, х – длина гона (км) (рис. 3).

Рисунок свидетельствует о наличии гиперболической зависимости. Уравнение гиперболы имеет вид y=a₀+a₁/x.

Для расчета параметров «a₀» и «a₁» решается система уравнений:

 

 

 

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8

 

Рис. 3. Графическое представление зависимости между значением фактической величины потерь на холостые повороты и заезды тракторных агрегатов и длиной гона. Точками показаны результаты наблюдений

;

;

.

 

Промежуточные вычисления, необходимые для решения системы нормальных уравнений, приведены в табл. 8.

Таблица 8

Расчет коэффициентов системы нормальных уравнений

(случай гиперболической регрессии)

 

№ п/п (j)	Фактическая величина потерь, % (yj)	Длина гона, км (xj)	1/хj	1/(хj)2	yj/xj	Расчетная величина потерь, %, ŷ j
	16.8	0.4	2.5	6.25	42.0	19.32
	10.8	0.7	1.429	2.04	15.429	11.35
	6.2	1.0	1.0	1.0	6.2	8.17
	6.0	1.3	0.769	0.59	4.615	6.45
	4.0	1.6	0.625	0.39	2.5	5.38
	3.8	1.9	0.526	0.28	2.0	4.64
	3.1	2.2	0.455	0.21	1.409	4.11
	16.0	0.5	2.0	4.0	32.0	15.60
	13.8	0.6	1.666	2.78	23.0	13.12
	12.1	0.7	1.429	2.04	18.714	11.35
	10.0	0.8	1.25	1.56	16.25	10.02
	9.0	0.9	1.111	1.23	11.444	8.99
	5.8	1.0	1.0	1.0	9.2	8.17
	8.1	1.1	0.909	0.83	7.364	7.49
S	125,5		16.669	24.20	192.125

 

Используя результаты расчёта табл. 8 запишем систему нормальных уравнений в виде:

; ;

; ;

; .

Сглаженная зависимость потерь на холостые повороты и заезды тракторных агрегатов от длины гона имеет вид:

y=0.726+7.439/x.

Поскольку зависимость между длиной гона и величиной потерь на холостые повороты и заезды тракторных агрегатов носит нелинейный характер, тесноту нелинейных связей можно характеризовать выборочным корреляционным отношением:

О степени линейной корреляции можно судить по значению r_yx.

.

Для расчета величин (y-ŷ)², () ² составим таблицу 9.

Таблица 9

Таблица для расчета корреляционного отношения

№ п/п (j)	Фактическая величина потерь, % (yj)		Расчетная величина потерь, %, yj
	16.8	51,84	19.32	-2,52	6,35
	10.8	1,44	11.35	-0,55	0,30
	6.2	11,56	8.17	-1,97	3,88
	6.0	12,96	6.45	-0,45	0,20
	4.0	31,36	5.38	-1,38	1,90
	3.8	33,64	4.64	-0,84	0,71
	3.1	42,25	4.11	-1,01	1,02
	16.0	40,96	15.60	0,40	0,16
	13.8	17,64	13.12	0,68	0,46
	12.1	12,25	11.35	1,75	3,06
	10.0	11,56	10.02	2,98	8,88
	9.0	0,49	8.99	1,31	1,72
	5.8	0,16	8.17	1,03	1,06
	8.1	2,25	7.49	0,61	0,37
S	134.2	270,36	134,16		30,07
∑/ п

Подставляя найденные значения величин в формулу, получим:

.

Стандартная (среднеквадратическая) ошибка определения коэффициента корреляции и корреляционного отношения может быть оценена по формулам:

при ; =______

.

где N – объем выборки (случай, когда N<30);

K – число факторов.

Достоверность расчёта корреляционного отношения высока.

Очень большое значение выборочного корреляционного отношения и малая погрешность его определения говорят об адекватности принятой регрессионной зависимости реальной статистической картине, о верности выбранной гиперболической зависимости между величинами у и х.

Степень влияния фактора на результат, определяется значением коэффициента детерминации.

Коэффициент детерминации вычисляется по формуле:

; где Д_рег и Д_ост – дисперсии отклонений сглаженных значений ŷ ^j от среднего наблюдаемого и отклонений наблюдаемых величин от сглаженного .

Таблица 10

Таблица для расчёта коэффициента детерминации

N n/n
∑
∑	Дост	Дрег

 

Коэффициент детерминации равный В= характеризует, что ….% изменений величины у вызвано изменением величины х, а (1-В) ….% влиянием неучтённых факторов.

Несмещённая выборочная оценка для дисперсии отклонений случайной величины у от поверхности регрессии вычислим по формуле:

Стандартное отклонение величины у от линии регрессии составляет…., т.е. находится в пределах % от значений величины .

.