Основные теоретические сведения

Доц. Миндолин С.Ф.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 0-1: ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ФИЗИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

 

Студент группы________

Допуск ______________________ Выполнение ____________________ Защита __________________________

Цель работы: получение и закрепление навыков обработки результатов прямых, косвенных и совместных измерений.

Основные теоретические сведения

Прямые измерения

Одной из важнейших задач физического эксперимента являются измерения величин. Процесс измерения состоит в том, что измеряемую величину сравнивают с другой величиной, принятой за эталон. Измерения, в процессе которых искомая величина определяется с помощью специально предназначенного для этого прибора, называются прямыми. Они никогда не бывают абсолютно точными. Всегда возникает разброс результатов измерений, что требует оценки погрешности (ошибки)- обязательного элемента любого эксперимента. Род и причины погрешностей разнообразны и необходимы многочисленные эксперименты, чтобы их систематизировать.

Среди множества ошибок измерений выделим следующие:

Ø систематические погрешности- это погрешности, являющиеся следствием неправильной калибровки (сбитый ноль прибора, тепловое расширение линейки.), ошибочности метода измерений и т.п. При наличии такого типа погрешностей измеренное значение отклоняется от истинного значения в одну и ту же сторону и на одну и туже величину. Повторными измерениями эти ошибки не уменьшаются, однако их можно оценить методом сравнения результатов измерений заданной величины каким-либо прибором с измерениями, полученными исправным прибором (с большей степенью точности).

Ø случайные погрешности вносятся изменчивыми условиями эксперимента, несовершенством органов чувств и трудно учитываемыми условиями эксперимента, ограниченной точностью и т.п. Случайные ошибки уменьшаются с ростом числа измерений пропорционально , (где - число измерений в одинаковых условиях) и подчиняются законам теории вероятности и математической статистики. Чаще всего случайные погрешности проявляются в виде разброса (рассеяния) показаний прибора. В результате этого разброса измеряемая величина случайным образом отклоняется от истинного значения в произвольную сторону на произвольную величину.

Ø промахи - погрешности, чаще всего возникающие вследствие невнимательности человека или недостаточной его квалификации и опыта. Их можно наблюдать, например, при неправильном отсчете измеряемого значения (неправильное определение цены деления прибора). Кроме того, к грубым погрешностям могут привести внезапные сильные внешние влияния на измерительное устройство, повреждения или помехи, которые нельзя считать субъективными.

Ø приборные погрешности- этот тип погрешностей обусловлен тем, что практически любое измерительное устройство обладает ограниченной степенью точности, т.е.,например, измерительной линейкой с ценой деления 1см нельзя измерить длину стола с точностью до одного миллиметра. Практически для большинства измерительных устройств (за исключением электроизмерительных приборов) в качестве приборной погрешности принимается половина его цены деления.

Ø погрешности округления -связаны с тем, что в расчетах приходится те или иные величины округлять до определенного десятичного разряда.

В методах математической статистики для обработки результатов измерений, в которых присутствуют только случайные погрешности, используется понятие генеральной совокупности значений измеряемой величины и выборки. Например, при измерении времени между двумя событиями или длины предмета, мы, в принципе, можем получить значения, заключенные в интервале . Множество всех допустимых значений, которые может принимать та или иная величина, называется ее генеральной совокупностью. Производя n измерений, мы получим значений измеряемой величины: . Данная совокупность значений называется выборкой для величины объемом . Очевидно, что выборка переходит в генеральную совокупность, если ее объем, т.е. число измерений , стремится к бесконечности. Введем понятие среднего значения выборки и ее дисперсии. Средним значением выборки объемом для величины называется величина, вычисляемая из соотношения:

. (0.1)

Далее введем понятие дисперсии выборки, являющейся мерой отклонений измеренных значений от их среднего значения . Дисперсию выборки находят из следующего соотношения

. (0.2)

Величина, которая является мерой отклонения среднего значения выборки от истинного значения измеряемой величины, называется дисперсией среднего значения. Дисперсия среднего значения обозначается и вычисляется по формуле:

. (0.3)

Величина , равная называется среднеквадратичным отклонением среднего значения от истинного значения . Очевидно, что среднее значение и дисперсия зависят как от измеренных значений , так и от объема выборки . Причем, при увеличении до бесконечности среднее значение и дисперсия выборки стремятся, соответственно, к среднему значению и дисперсии генеральной совокупности. Дисперсию генеральной совокупности обычно обозначают .

Результаты измерений величины являются случайными числами, поскольку при измерениях присутствуют случайные погрешности измерений. Наиболее часто вероятность получения результата измерений описывается распределением Гаусса. Плотностью распределения величины называется функция , такая, что вероятность получить измеряемую величину в интервале от до равна ,

где (0.4)

На рис 0.1 представлен график функции . Важнейшим свойством ее является то, что вероятность получения результата однократного измерения равна площади под кривой в пределах до . Например, в пределах от до вероятность равна 0.683, в пределах от до она равна 0.954 и в пределах , до она будет 0.997. Следовательно, из 1000 измерений 683 наиболее вероятно попадут в интервал , 954 -в интервал , а 997 соответственно в интервал .

Рисунок 0.1. График функции распределения Гаусса.

Целью физического эксперимента при проведении прямых измерений является определение интервала, в котором находится истинное значение величины (доверительного интервала). Чтобы записать данный интервал по результатам измерений, в которых присутствуют только случайные погрешности, предварительно введем параметр, определяемый по формуле

(0.5)

где - истинное значение измеряемой величины.

Из данного соотношения видно, что параметр также является величиной случайной, поскольку находится из случайных величин и . Следовательно, для всевозможных значений параметра также существует своя функция распределения. Впервые данная зависимость была найдена Стьюдентом и получила название функции распределения Стьюдента, а параметр называется параметром Стьюдента. Аналитическое выражения функции распределения параметра Стьюдента имеет следующий вид:

, где гамма функция.

График функции распределения параметра Стьюдента представлен на рисунке 0.2. Зная данное распределение и используя следующее равенство можно вычислить вероятность того, что параметр не превосходит значения .

Рисунок 0.2. График функции распределения параметра Стьюдента.

Обычно на практике поступают по иному. Зная количество измерений , и задавая вероятность , находят величину параметра . Значения данного параметра приведены в табл. 0.1. Данные таблицы 0.1 на практике используют следующим образом. Зная объем выборки и задавая значение вероятности , с помощью табл. 0.1 находят параметр , где -число степеней свободы ( ). После чего из соотношения (0.5) легко получить искомый интервал

(0.6)

при , равном заданному значению, и соответствующем .

Данная запись означает то, что истинное значение величины с вероятностью , попадает в указанный интервал. В том случае, если при проведении прямых измерений присутствуют кроме случайных погрешностей и другие виды погрешностей необходимо также учитывать их влияние на искажения полученных результатов. В этом случае дисперсию прямых измерений находят по формуле:

,

где - дисперсия измерений от случайных погрешностей, - дисперсия измерений от приборных погрешностей и т.д. Следует заметить, что из полученных прямых измерений оценить систематическую погрешность не представляется возможным.

Рассмотрим пример обработки результатов прямых измерений. Допустим, в результате пяти измерений получены значения: 6,7,6,5,6. Порядок обработки полученных измерений заключается в следующем.

1. Находим среднее значение измерений по формуле (0.1)

.

2. Дисперсию среднего значения находим по формуле (0.3.)

Тогда среднеквадратичное отклонение среднего значения равно

.

3. Для вероятности и числа измерений , находим значение параметра из табл. 0.1: (.)

4. Окончательный результат записываем в виде

при .

Таблица 0.1

Значение параметра Стьюдента в зависимости от вероятности и числа степеней свободы .

k	Вероятность p
0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99	0,999
	1,38	2,0		6,3	12,7	31,8	63,7	636,6
	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3	7,0	9,9	31,2
	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2	4,5	5,8	12,9
	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8	3,7	4,6	8,8
	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6	3,4	4,0	6,9
	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,1	3,7	6,0
	0,90	1,1	1,4	1,9	2,4	3,0	3,5	5,4
	0,90	1,1	1,4	1,9	2,3	2,9	3,4	5,0

Косвенные измерения.

В процессе проведения физических исследований часто приходится вычислять искомую величину по результатам прямых измерений, связанных с искомой функциональной зависимостью . Такие измерения называются косвенными. Причем для такого типа измерений можно предложить порядок их обработки такой же, как для прямых из измерений. Согласно этого методу по результатам прямых измерений находят по формуле значения косвенных измерений , затем по формулам (0.1) и (0.3) вычисляют среднее значение дисперсию средних значений косвенных измерений . Используя эти величины, записывают доверительный интервал в виде

Однако для большого числа измерений данный метод является трудоемким. Поэтому на практике поступают следующим образом.

Среднее значение косвенного измерения находят путем подстановки соответствующих средних значений прямых измерений в следующее равенство . Т.к. при малых значениях приращение пропорционально производной , то существует следующая связь среднеквадратичных отклонений и :

(0.7)

Нередко оказывается, что искомая величина является функцией нескольких переменных :

(0.8)

В этом случае дисперсия величины определяется по формуле

(0.9)

где , , - частные производные от функции .

Рассмотрим на следующем примере порядок обработки косвенных измерений. Для некоторого бегуна на 100-метровке пятью наблюдателями получены следующие значения времени пробега в секундах . Необходимо найти доверительный интервал для величины скорости бегуна.

Первый способ.

1. Предполагая движение бегуна равномерным, находим его скорость

, ,

, ,

2. Находим среднее значение скорости

Находим дисперсию среднего значения скорости

Находим среднеквадратичное отклонение

3. Записываем доверительный интервал величины скорости движения бегуна

Второй способ.

1. Находит среднее значение времени

2. Дисперсия и среднеквадратичное отклонение времени

3. Находим среднее значение скорости

4. Находим формулу для дисперсии скорости

Определяем частные производные

Получаем формулу для дисперсии скорости

Полагая, что дистанция измерялась лентой с ценой деления 1см, задаем погрешность измерений расстояния и вычисляем дисперсию и среднеквадратичное отклонение

5. Записываем доверительный интервал

.

Следует обратить внимание на то, что данный доверительный интервал записан без учета параметра Стьюдента, поэтому второй способ обработки результатов косвенных измерений является менее строгим по сравнению с первым. Данный способ обработки результатов косвенных измерений, по сути, является оценочным способом для доверительного интервала.

Совместные измерения. Метод наименьших квадратов.

Рассмотрим совместные измерения и порядок их обработки на следующем примере. Допустим, величина и величина связаны линейной зависимостью, т.е.:

(0.10)

Если величины связанные функционально, измеряются одновременно, то такие измерения называются совместными. Задачей совместных измерений является определение коэффициента .

Для этого проведем измерений величин , последовательно измеряя их в процессе эксперимента, в результате получим пар значений , ,…, . Отметим на плоскости экспериментальные точки, соответствующие полученным данным (рис. 0.3).

Вследствие случайных погрешностей полученные экспериментально точки не лежат на одной прямой. Но можно сформулировать критерий для выбора углового коэффициента прямой, в соответствии с которым ошибка измерения этого коэффициента будет минимальной. Этот критерий в математической статистике получил название критерия наименьших квадратов.

Пусть для некоторого определенного значения прямая пройдет так, как это показано на рис 0.3. Для ордината при этом равна , экспериментальное значение для равно , т.е. существует отклонение экспериментального значения от вычисленного значения . Эти отклонения для каждого измеренного значения величины могут отличаться как по величине, так и по знаку

(0.11)

Согласно критерию наименьших квадратов, угловой коэффициент прямой должен быть таким, чтобы сумма квадратов отклонений ординат прямой при тех же значениях аргумента была минимальной. Это условие метода наименьших квадратов математически записывается так:

(0.12)

Рисунок 0.3

В выражении (0.12) остаточная сумма квадратов является функцией неизвестного параметра . Минимальное значение этой функции достигается тогда, когда ее производная при некотором значении равна нулю, т.е.:

(0.13)

Следовательно, взяв от суммы (0.12) производную по параметру и приравняв ее к нулю, получим уравнение:

(0.14)

Это уравнение линейное относительно А, и из него легко можно получить формулу для нахождения неизвестного параметра :

(0.15)

Параметр является случайной величиной. С помощью методов математической статистики можно найти формулу для дисперсии этого параметра

(0.16)

Таким образом, метод наименьших квадратов позволяет определить по результатам совместных измерений, как величину неизвестного параметра , так и его дисперсию . В ряде случаев функциональная зависимость между величинами и может отличаться от простейшей линейной зависимости (0.10).

Часто приходится использовать несколько более сложную зависимость, неизвестными уже могут быть не один, а два параметра, которые в результате совместных измерений необходимо определить. Такой зависимостью, например, является линейная функция вида

(0.17)

Используя метод наименьших квадратов, можно получить расчетные формула для определения параметров и . Эти формулы записываются в виде

, (0.18)

Величина дисперсии этих параметров находится по формулам