Производная функции, заданной неявно

Практикум по математическому анализу

Тема. Производные функций

- основные правила дифференцирования;

- дифференцирование сложной функции;

- производная функции, заданной неявно;

- производная параметрически заданной функции.

Основные правила дифференцирования

1. , где – постоянное число (константа).

5. Производная сложной функции – см. далее.

Дифференцирование сложной функции

u(v(x)). Здесь две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) называется сложной функцией.

Функция образно будет называться внешней функцией, а функция – внутренней (или вложенной) функцией.

Пример сложной функции:

Правило дифференцирования сложной функции .

Таблица нахождения производных сложных функций

Пример 1

Найти производную функции

Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции, состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней.

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен .

А если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого существует следующий прием.

Представим, что нам нужно вычислить значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

Теперь самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Сначала находим производную внешней функции (синуса).

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем.

Результат применения формулы выглядит так:

Далее мы берем производную внутренней функции:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Пример 2

Найти производную функции

Решение:

Разбираемся, где внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

При взятии производной от внешней функции , внутренняя функция не меняется:

Теперь осталось найти производную от внутренней функции и преобразовать результат:

Пример 3

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

Пример 4

Найти производную функции

Для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в подходящий для дифференцирования вид:

Сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень можно снова представить в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применить правило дифференцирования суммы:

Пример 5

Найти производную функции

Необходимо подготовить функцию для дифференцирования – вынести минус за знак производной, косинус поднять в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
По правилу:

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Пример 6

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью значения . Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Под штрихом снова сложная функция. Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять производную от степени:

Пример 7

Найти производную функции

Сначала используем правило дифференцирования суммы , заодно в первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу :

В обоих слагаемых под штрихами у нас находится произведение функций, следовательно, нужно дважды применить правило :

Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции , .

Производная функции, заданной неявно

Функция одной переменной –это правило, по которому каждому значению независимой переменной соответствует одно и только одно значение функции .

Переменная называется независимой переменной или аргументом.
Переменная называется зависимой переменной или функцией.

Рассмотрим функцию

Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа – только «иксы». То есть, функция в явном виде выражена через независимую переменную .

Рассмотрим другую функцию:

Здесь переменные и расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др.

– пример неявной функции.

Пример 1

Найти производную от функции, заданной неявно

1) На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:

2) Используем правила линейности производной:

3) Непосредственное дифференцирование.
– производная от функции равна её производной: .

Как дифференцировать
Здесь сложная функция. Потому что буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (см. определение в начале пункта). Таким образом, синус – внешняя функция, – внутренняя функция. Используем правило дифференцирования сложной функции :

Произведение дифференцируем по обычному правилу :

Обратите внимание, что – тоже сложная функция:

Само оформление решения должно выглядеть примерно так:

Если есть скобки, то раскрываем их:

4) В левой части собираем слагаемые, в которых есть «игрек» со штрихом. В правую часть – переносим всё остальное:

5) В левой части выносим производную за скобки:

6) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:

Пример 2

Найти производную от функции, заданной неявно

Заключаем обе части под штрихи и используем правило линейности:

Дифференцируем, используя правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования частного :

Раскрываем скобки:

Теперь нам нужно избавиться от дроби. В знаменателе дроби находится . Умножаем каждое слагаемое каждой части на . Если подробно, то выглядеть это будет так:

Иногда после дифференцирования появляется 2-3 дроби. Если бы у нас была еще одна дробь, например, , то операцию нужно было бы повторить – умножить каждое слагаемое каждой части на

Далее алгоритм работает стандартно, после того, как все скобки раскрыты, все дроби устранены, слагаемые, где есть «игрек штрих» собираем в левой части, а в правую часть переносим всё остальное: