1.2.1. Особенности записии решений уравнений по законам Кирхгофа при синусоидальном токе.
При составлении уравнений по законам Кирхгофа в интегродифферен-циальной форме следует учесть, что уравнения составляются для мгновенных значений напряжений и токов и что падение напряжения на активном сопротивле- нии u R= i· R, на индуктивной катушке u L= L di / dt, на конденсаторе u C=1 / С 
При анализе гармонических процессов в цепях составляются уравнения в комплексной форме. При этом необходимо учесть, что падение напряжения на резисторе Ú R=Í∙R, на индуктивности Ú L = j x L ∙Í, на конденсаторе Ú С= - j x C ∙ Í.
Для получения численного результата необходимо проводить расчеты с комплекс- ными числами.
1.2.2. Определение токов в ветвях. Для цепи, содержащей три ветви, целесообразно определить полное комплексное сопротивление. Отношение эдс
источника к этому сопротивлению позволяет определить ток в ветви, в которой расположен источник эдс. Далее, находят напряже- ние на параллельном участке и затем, разделив это напряжение на сопротивления двух других ветвей, находят соответствующие токи. Правильность решения проверяют по первому закону Кирхгофа.
1.2.3.Баланс мощностей.
При составлении баланса мощностей следует рассчитать мощность,
развиваемую источником эдс, и приравнять ее сумме мощностей всех потребителей.
Ś ИСТ = Σ Ś ПОТР.
Полная мощность в комплексной форме определяется как
Ś=Σ Ú·Î = P + (-) j Q = Σ Z·Í∙Î, где
P- активная мощность,
Q- реактивная мощность,
Î - комплексное сопряженное значение к –того тока,
Z – полное комплексное сопротивление к-той ветви.
1.2.4.Построение векторной диаграммы токов и топографической диаграммы
напряжений.
Следует помнить, что вектор падения напряжения на резисторе Ú R совпадает по фазе с током, на индуктивной катушке Ú L опережает вектор тока на 90 градусов,
а на конденсаторе Ú С отстает от тока на угол 90 градусов.
1.2.5. Построение кривых мгновенных значений.
В результате расчетов значения тока и напряжения получены в комплексной форме, необходимо записать эти величины в функции времени.
u АВ= U АВ m sin (ω t + ψ UАВ), для чего находится амплитудное
значение напряжения и начальная фаза
U АВ m = U АВ · 1,41
U АВ =√ Re 2 + Im2 ψ UАВ= arctq Im / Re
1.2.6. Определение показаний ваттметра.
Ваттметр измеряет активную мощность, поэтому при определении показаний ваттметра необходимо взять действительную часть от произведения комплекса соот- ветствующего напряжения на величину сопряженного комплекса тока.
P= Re (Ú AB ∙ Î), где
Ú AB – комплекс напряжения между точками A и B, к которым подключена
обмотка напряжения ваттметра,
Î- сопряженный комплекс тока, протекающего по токовой обмотке ваттметра.
Пример выполнения задания
Исходные данные для расчета:
Схема электрической цепи представлена на рис. 1.
Параметры элементов схемы: Е= 220 В, f= 50 Гц, С 1 = 825 мкФ, С2 = 250 мкФ,
L 1= 25 мГн, L 2 =30 мГн, L3 = 20 мГн, r 1= 8,18 Ом, r 2= 10 Ом, r 3= 20 Ом.
1.3.1. Составление уравнений по законам Кирхгофа.
Количество уравнений по 1-му закону равно числу узлов, уменьшенному на единицу (2-1=1).
Количество уравнений по 2-му закону равно числу ветвей, уменьшенному на
количество уравнений, составленных по 1-му закону (3-1=2).
Система уравнений в интегро-дифференциальной форме:
i 1 = i 2 + i 3
e = r 1 i 1 + 1/C1 
1 dt + u C1 (0) + L 1 di 1/dt + L 3 di 3/dt + r3 i 3
0 = r 2 i 2 + L 2 di 2/dt + 1/C2 2 dt+ u C2 (0) - L 3 di3 /dt - r3 i 3
Система уравнений в комплексной форме:
Í1 =Í2 + Í3
É = (r1 + j x L1 – j x C1) Í 1 + (r3 + j x L3) Í 3
0 = (r2 + j x L2 – j x C2) Í 2 - (r3 + j x L3) Í 3
1.3.2. Расчет токов в цепи в комплексной форме.
Сопротивления ветвей:
Z 1 = (r1 + j x L1 – j x C1) = 8,18 – j 3,86 + j 7,85= 8,18 + j 3,99 (Ом)
j x L1 = j 2 п f L 1 = j 2 ∙3,14·50·25∙10 -3 =j 7, 85 (Ом)
– j x C1 = - j 1 / 2п f C 1 = - j 1/ 2· 3,14· 50 · 825· 10 – 6 = - j 3,86 (Ом)
Z 2 = r2 + j x L2 – j x C2 = 10+ j 2 п f L 2 - j 1 / 2п f C 2 =
= 10 + j 2 ∙3,14· 30· 50∙10 -3 - j 1/ 2· 3,14· 50 · 250· 10 – 6 = 10 – j 3,32 (Ом)
Z 3 = r3 + j x L3 = 20 + j 2 п f L 3= 20 + j 2 ∙3,14· 50· 20∙10 -3 = 20 + j 6, 28 (Ом)
Нахождение полного комплексного сопротивления:
(10 – j 3,32) (20 + j 6, 28)
Z = Z 1 + Z 2 Z 3 / Z 2 +Z 3 = 8,18 + j 3,99 + ------------------------------------ =
(10 – j 3,32) + (20 + j 6, 28)
= 15,45 + j 3,17 (Ом)
Ток в неразветвленной части цепи:
Í 1 = É / Z 1 = 220 / 15,45 + j 3,17 = 13,66 - j 2,78 (А)
Напряжение разветвленной части цепи:
Ú АВ = É - Z 1 Í 1 = 220 – (8,18 + j 3,99) (13,66 - j 2,78) = 97,08- j 31,76 (В)
Токи в ветвях:
Í 2 = Ú АВ / Z 2 =(97,08-j 31,76) / (10 – j 3,32) = (9,69 + j 0,05) (А)
Í 3 = Ú АВ / Z 3 =(97,08-j 31,76) / (20 + j 6, 28) = (3,97 – j 2,83) (А)
Проверка по первому закону Кирхгофа:
Í 1 = Í 2 + Í 3 = (9,69 + j 0,05) + (3,97 – 2,83) = 13,66 – j 2,78 (А)
1.3.3.Баланс активных и реактивных мощностей.
Комплексная мощность источника:
Ś = Éi ∙ Îi = 220 ∙ (13,66 + j 2,78) = 3005,2+j 616,6 (ВА)
Активная мощность источника Р i = 3005, 2 Вт
Реактивная мощность источника Q i = 611, 6 Вар
Комплексные мощности приемников:
Ś 1 ПР = Z1 ∙ Í 1 Î1 = (8,18 + j 3,99) (13,66 - j 2,78) (13,66 + j 2,78) =
= 1590,8 + j 775,56 (ВА)
Ś 2 ПР = Z2 ∙ Í 2 Î2 = (10 – j 3,32) (9,69 + j 0,05) (9,69 - j 0,05) =
= 939,01 - j 312,6 (ВА)
Ś 3 ПР = Z3 ∙ Í 3 Î3 = (20 + j 6, 28) (3,97 – j 2,83) (3,97 +j 2,83) =
= 475,28 + j 148,65 (ВА)
Комплексная мощность всех приемников:
Ś ПР = Ś 1 ПР + Ś 2 ПР + Ś 3 ПР =1590,8 + j 775,56 + 939,01 - j 312,6 +
+ 475,28 + j 148,65 = 3005,09 + j 611, 61 (ВА)
Активная мощность потребителей Р = 3005, 09 Вт
Реактивная мощность потребителей Q = 611, 61 Вар
1.3.4.Построение векторной диаграммы токов и топографической диаграммы.
На комплексной плоскости наносят вектора токов в ветвях (комплексные
значения), причем вектор тока Í 1 должен быть равен сумме векторов Í 2 и Í 3
(рис. 1.1.1).
Для построения топографической диаграммы потенциал одного узла прини мают за нуль
φ В =0
Потенциал следующей точки φ К возрастает на величину падения напряжения
– j x C2·Í2
φ К = φ В + (– j x C2·Í2)= 0 + (- j 12,7) (9,69 +j 0,05) = 0,64 – j 123,1 B
φ M = φ K + (r2·Í2) = 0,64 – j 123,1+ (9,69+j 0,05) 10 = 97,5- j 122,6 B
φ A = φ M + (j x L2·Í2) = 97,5- j 122,6 + (9,69+j 0,05) (j9,42) = 97,0 – j 31,3 B
φ Q = φ A + (j x L1·Í1) = = 97,0 – j 31,3 + (j 7,85)(13,66-j 2,78) = 118,8+j 75,9
φ N = φ Q + (– j x C1·Í1) = 118,8+j 75,9 + (- j 3,86) (13,66-j 2,78) = 108,1+j 23 B
φ D = φ N + (r1 ·Í1) =108,1+j 23 + 8,18 (13,66-j 2,78) = 220- j 0,1 B
φ В = φ D - É = 220 - j 0,1 - 220 =0
(рис. 1.1.2.)
1.3.5.Построение кривых мгновенных значений.
В результате расчетов значения тока и напряжения получены в комплексной
форме
Í 2 = (9,69 + j 0,05) (А)
Модуль тока I2 = 
9,692 + 0,052 = 9,7 (А)
Амплитудное значение I m = 1,41∙I2 = 13, 68 (А)
Начальная фаза тока ψ i= arc tq 0,05 / 9,69 = 0,3 град.
Мгновенное значение тока
i2 = I m sin (ω t + ψ i2 ) = 13, 68 sin (ω t + 0,3°) (A)
Ú АВ = 97,08 - j 31,76 (В)
Модуль напряжения U AB = 97,082 + 31,762 = 102, 1 (В)
Амплитудное значение U АВ m = 1,41∙ U AB=1,41· 102,1= 144 (В)
Начальная фаза напряжения ψ U = arc tq (- 31,76) / 97,08= - 18,1 град.
Мгновенное значение напряжения u АВ= U АВ m sin (ω t + ψ UАВ) =
= 144 sin (ω t - 18 °) (В)
(рис.1.1.3.)
1.3.6. Определение показаний ваттметра.
Pw = Re (Íw·Úw)=Re (- j X C2 ∙Í2∙Î2) = Re { (- j 1/ 2· 3,14· 50 · 250· 10 – 6) ·
·(9,69 + j 0,05) (9,69 - j 0,05) } = Re (6,17- 6,17+ j 1196,2 + j 0,03) = 0
Úw =(- j X C2 ∙Í2) Íw = Î2
| Векторная диаграмма токов |
| |
| Рис. 1. | Рис.1.1.1. |
| Топографическая диаграмма | Кривые мгновенных значений |
| 
|
| Рис.1.1.2. | Рис.1.1.3. |
| 
|
| Рис. 1.1. | Рис. 1.2. |
| 
|
| Рис. 1.3. | Рис. 1.4. |
| 
|
| Рис. 1.5. | Рис. 1.6. |
| 
|
| Рис. 1.7. | Рис. 1.8. |
| 
|
| Рис. 1.9. | Рис. 1.10. |
| 
|
| Рис. 1.11. | Рис. 1.12. |
| 
|
| Рис. 1.13. | Рис. 1.14. |
| 
|
| Рис. 1.15. | Рис. 1.16. |
| 
|
| Рис. 1.17. | Рис. 1.18. |
| 
|
| Рис. 1.19. | Рис. 1.20. |
| 
|
| Рис. 1.21. | Рис. 1.22. |
| 
|
| Рис. 1.23. | Рис. 1.24. |
| 
|
| Рис. 1.25. | Рис. 1.26. |
| 
|
| Рис. 1.27. | Рис. 1.28. |
| 
|
| Рис. 1.29. | Рис. 1.30. |
| 
|
| Рис. 1.31. | Рис. 1.32. |
| 
|
| Рис. 1.33. | Рис. 1.34. |
| 
|
| Рис. 1.35. | Рис. 1.36. |
| 
|
| Рис. 1.37. | Рис. 1.38. |
| 
|
| Рис. 1.39. | Рис. 1.40. |
| 
|
| Рис. 1.41. | Рис. 1.42. |
| 
|
| Рис. 1.43. | Рис. 1.44. |
| 
|
| Рис. 1.45. | Рис. 1.46. |
| 
|
| Рис. 1.47. | Рис. 1.48. |
| 
|
Рис.1.49. Рис. 1.50.
Варианты задания №1. Таблица 1
| № ва-рианта | № схем | Е, В | f, Гц | С1, мкФ | С2, мкФ | С3, мкФ | L1, мГн | L2, мГн | L3, мГн | R1, Ом | R2, Ом | R3, Ом |
| - | - | - | 31,8 | 63,7 | ||||||||
| - | - | 25,5 | 22,3 | 15,9 | ||||||||
| - | - | - | 25,5 | |||||||||
| - | - | 15,9 | - | 47,7 | ||||||||
| - | - | 22,3 | - | - | ||||||||
| - | 15,9 | - | 31,8 | - | ||||||||
| - | - | 47,7 | - | 31,8 | - | |||||||
| - | - | - | - | 25,5 | ||||||||
| - | - | 47,7 | - | - | ||||||||
| - | - | 31,8 | - | 22,3 | - | |||||||
| - | - | 18,6 | - | |||||||||
| - | 53,1 | - | - | - | ||||||||
| - | - | 13,3 | - | - | ||||||||
| - | - | 21,2 | - | |||||||||
| - | - | 13,3 | - | |||||||||
| - | 13,3 | - | - | - | ||||||||
| - | - | 26,5 | 21,2 | - | ||||||||
| - | - | 26,5 | - | |||||||||
| - | - | 26,5 | - | 18,6 | - | |||||||
| - | - | 26,5 | 18,6 | - | ||||||||
| - | - | 47,7 | 31,8 | 47,7 | - | |||||||
| - | 47,7 | 31,8 | - | - | ||||||||
| - | - | 31,8 | ||||||||||
| - | - | - | 26,5 | - | ||||||||
| - | - | - | 31,8 | 47,7 | - | |||||||
| - | - | - | 13,3 | - | ||||||||
| - | 21,2 | 13,3 | - | - | ||||||||
| - | - | 53,1 | - | 53,1 | ||||||||
| - | - | - | 53,1 | |||||||||
| - | - | 26,5 | 26,5 | - | ||||||||
| - | - | - | 13,3 | - | ||||||||
| - | - | 13,3 | 18,6 | 53,1 | - | |||||||
| - | - | - | 13,3 |
| № ва-риант | № схемы | Е, В | f, Гц | С1, мкФ | С2, мкФ | С3, мкФ | L1, мГн | L2, мГн | L3, мГн | R1, Ом | R2, Ом | R3, Ом |
| - | - | 21,2 | 13,3 | - | ||||||||
| - | - | 26,5 | 21,2 | - | ||||||||
| - | - | 31,8 | 15,9 | - | ||||||||
| - | - | - | 15,9 | |||||||||
| - | 15,9 | - | 47,7 | - | ||||||||
| - | - | 31,8 | 25,5 | 47,7 | - | |||||||
| - | - | 25,5 | 47,7 | |||||||||
| - | 15,9 | - | - | |||||||||
| - | - | - | 22,3 | 25,5 | - | |||||||
| - | - | 22,3 | - | |||||||||
| - | - | 31,8 | ||||||||||
| - | 31,8 | - | 22,3 | - | ||||||||
| - | 63,7 | - | - | |||||||||
| - | - | 25,5 | - | 22,3 | ||||||||
| - | - | 25,5 | - | |||||||||
| - | - | 25,5 | 31,8 | |||||||||
| - | 15,9 | - | 15,9 |
