Программа по математическому анализу. 2 курс, 3 семестр.
Ряды Фурье.
1. Некоторые сведения о периодических функциях. Теорема о значениях интеграла от периодической с периодом Т функции.
2. Коэффициенты Эйлера-Фурье и ряд Фурье.
3. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.
4. Основная теорема о сходимости тригонометрических рядов Фурье.
5. Разложение функций, заданных на сегменте [0,L], в ряд Фурье только по косинусам или только по синусам.
6. Комплексная форма записи ряда Фурье.
7. Интеграл Фурье.
8. Комплексная форма записи интеграла Фурье.
А. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра.
1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Критерий Коши таких интегралов.
2. Абсолютная сходимость несобственных интегралов 1-го рода, теоремы сравнения. Условная сходимость несобственных интегралов 1-го рода, теорема Абеля-Дирихле.
3. Интегралы от неограниченных функций с конечными пределами интегрирования (несобственные интегралы 2-го рода). Критерий Коши таких интегралов. Теоремы о сходимости несобственных интегралов 2-го рода.
4. Главное значение расходящегося интеграла.
5. Собственные интегралы, зависящие от параметра и их свойства: теорема о непрерывности по параметру; теорема о дифференцируемости по параметру; теорема о дифференцируемости по параметру в случае, когда пределы интегрирования зависят от параметра; теорема об интегрируемости по параметру.
6. Класс несобственных интегралов, зависящих от параметра и содержащих ограниченную подынтегральную функцию.
7. Несобственные интегралы, зависящие от параметра и их равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости несобственных интегралов зависящие от параметра 1-го и 2-го рода. Мажорантный признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра 1-го рода.
8. Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов, зависящих от параметра: непрерывность по параметру; дифференцируемость по параметру; интегрируемость по параметру.
9. Классы несобственных интегралов, зависящих от параметра, вычисляемые с помощью дифференцирования и интегрирования по параметру: интеграл Дирихле, интеграл Пуассона-Эйлера, интегралы Френеля, интегралы Фрулани.?
10. Гамма-функция Эйлера и её свойства.
11. Бета-функция Эйлера и её свойства: симметричность, формула понижения, связь между гамма и бета функциями, формула дополнения.
Б. Кратные интегралы.
1. Квадрируемые фигуры, свойства площадей. Кубируемые фигуры, свойства объёмов.
2. Определение двойного интеграла и условия его существования.
3. Определение тройного интеграла и условия его существования.
4. Классы интегрируемых функций и свойства двойных и тройных интегралов.
5. Вычисление двойного интеграла в случае прямоугольной области. Вычисление тройного интеграла в случае прямоугольного параллелепипеда.
6. Вычисление двойных и тройных интегралов в случае криволинейных областей.
7. Криволинейные координаты на плоскости и в пространстве.
8. Площадь в криволинейных координатах. Объём в криволинейных координатах.
9. Замена переменных в двойных и тройных интегралах.
10. Приложения двойных и тройных интегралов: вычисление площадей и объёмов; вычисление массы тела переменной плотности; вычисление координат центра масс пластины и тела; притяжение материальной точки телом.
В. Криволинейные и поверхностные интегралы.
1. Криволинейные интегралы 1-го рода и их свойства. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.
2. Криволинейные интегралы 2-го рода и их свойства. Связь между криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.
3. Формула Грина (связь двойных и криволинейных интегралов).
4. Условие независимости криволинейного интеграла на плоскости от пути.
5. Приложения криволинейных интегралов.
6. Сведения из дифференциальной геометрии поверхностей: определение поверхности; способы задания поверхностей; нормальный вектор к поверхности; первая квадратичная форма поверхности.
7. Площадь поверхности.
8. Поверхностные интегралы 1-го рода и их свойства.
9. Ориентация поверхности и поверхностные интегралы 2-го рода.
10. Вычисления поверхностных интегралов 2-го рода.
11. Формула Остроградского-Гаусса.
12.Формула Стокса.
13. Условия независимости криволинейного интеграла от пути в пространстве.
Г. Основы векторного анализа.
1. Скалярные поля. Поверхности уровня. Градиент и производная по направлению.
2. Векторные поля. Векторные (силовые) лини и векторные трубки. Потенциальное векторное поле.
3. Ротор векторного поля. Формула Стокса.
4. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса.
5. Соленоидальное векторное поле.
6. Дифференциальные операции с оператором Гамильтона.
7. Оператор Гамильтона в ортогональной криволинейной системе координат.
8. Дивергенция в ортогональной криволинейной системе координат.
9. Ротор в ортогональной криволинейной системе координат.
Д. Основы тензорного анализа.
1. Аффинное пространство. Определение одновалентного ковариантного и контравариантного тензора.
2. Определение общего тензора. Алгебраические операции над тензорами: сложение, умножение тензоров, свёртывание тензоров; перестановка аргументов у фиксированного тензора; симметрирование и альтернирование тензоров по группе аргументов.
3. Евклидовы и псевдоевклидовы пространства. Тензоры в евклидовом и псевдоевклидовом пространстве.
4. Тензорное поле. Криволинейная система координат в евклидовом пространстве.
5. Символы Кристоффеля для метрического тензора.
6. Параллельный перенос и ковариантная производная.
7. Смысл ковариантной производной в 3-х мерном евклидовом пространстве.
