Аксиома параллельных прямых.

Билет 4

Равнобедренный треугольник — треугольник у которого равны две стороны. Например (см. рис.): AB = BC — боковые стороны; AC — основание равнобедренного треугольника. Равносторонний треугольник — треугольник у которого все стороны равны. Например (см. рис.): A 1B 1 = B 1C 1 = A 1C 1 — стороны треугольника. Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным, но не всякий равнобедренный — равносторонним.

Свойства равнобедренного треугольника: • в равнобедренном треугольнике углы при основании равны; • в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой; AB = BC (равнобедренный треугольник), AO = OC (BO — медиана), BO — общая сторона ABO и CBO. ABO = CBO по 3-му признаку. Следовательно: ABO = CBO. BO — биссектриса. AOC — развернутый угол = 180°. AOB = COB = 180°   = 90°. BO — высота. • в равнобедренном треугольникебиссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой; • в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Признаки равнобедренного треугольника: • если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный; • если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой, то этот треугольник равнобедренный; • если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой, то этот треугольник равнобедренный; • если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Билет 5

Две прямые лежащие на одной плоскости либо имеют только одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки.

В первом случае говорят, что прямые пересекаются, во втором случае — прямые не пересекаются.

 

Две прямыеaиbна плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными и обозначаютсяa∥b.

Обрати внимание!

Если рассмотреть прямые, которые не лежат в одной плоскости, то возможна ситуация, что прямые не пересекаются, но они и не параллельны.

 

Один из признаков параллельности прямых в плоскости гласит:

1. Признак. Если две прямые на плоскости перпендикулярные одной и той же прямой, то они параллельны.

Этот признак легко доказать, если вспомнить, что к прямой в плоскости с любой точки можно провести только один перпендикуляр.

 

Допустим, что прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не параллельны, то есть имеют общую точку.

 

Получается противоречие - с одной точки H к прямой c проведены два перпендикуляра. Такое невозможно, поэтому две прямые на плоскости перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.

Признак

Если при пересечении двух прямых третьей секущей накрест лежащие углы равны, то эти две прямые параллельны.

Свойство

Если две прямые параллельны, то при пересечении их с третьей секущей накрест лежащие углы равны.

Аксиома,

Аксиома параллельных прямых.

В одной плоскости с заданной прямой через точку, не лежащую на этой прямой, можно провести только одну прямую, параллельную заданной прямой.

Иногда эту аксиому называют как одно из свойств параллельных прямых, но на справедливости этой аксиомы строятся многие доказательства в геометрии.

Другие свойства параллельных прямых.

1. Если одна из пары параллельных прямых параллельна третьей прямой, то и другая прямая параллельна третьей прямой.

2. Если некая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую параллельную прямую.

Эти свойства в отличии от аксиомы нужно доказать.

 

При пересечении двух параллельных прямых третьей секущей:

- накрест лежащие углы равны,

- соответственные углы равны,

- сумма односторонних углов равна 180°.

Билет 6

Сумма углов треугольника равна 180°.

 

Доказательство.

 

Рассмотрим произвольный треугольник KLM и докажем, что ∡K+∡L+∡M=180°.

 

Проведём через вершину L прямую a, параллельную стороне KM.

Углы, обозначенные 1, являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых a и KMсекущей KL, а углы, обозначенные 2 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ML.

 

Очевидно, сумма углов 1, 2 и 3 равна развёрнутому углу с вершиной L, т. е.
∡1+∡2+∡3= 180°или ∡K+∡L+∡M=180°.

 

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о сумме углов треугольника

Следствие 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

 

Следствие 2. В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.

 

Следствие 3. В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°.

 

Следствие 4. В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий — тупой или прямой.

 

Следствие 5. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

 

Доказательство.

Из равенств ∡KML+∡BML= 180° и ∡K+∡L+∡KML=180° получаем, что ∡BML=∡K+∡L.

 

Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники

Как гласит четвёртое следствие из теоремы о сумме углов треугольника, можно выделить три вида треугольников в зависимости от углов.

 

 

У треугольника KLM все углы острые.

 

 

У треугольника KLM угол K=90°.

У прямоугольного треугольника сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две остальные стороны — катетами.

 

На рисунке LN — гипотенуза, LK и KN — катеты.

 

 

У треугольника KLM один угол тупой.

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Билет 7

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами.