III. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

I. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Опр. Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

Проинтегрируем почленно это уравнение и получим общее решение:

Алгоритм решения:

1. Разделить переменные

2. Найти общее решение уравнения интегрируя его почленно

3. Найти частное решение по начальным данным (если они есть)

4. Сделать проверку

 

Замечание. Часто уравнение с разделяющимися переменными называют уравнение вида:

Умножают обе части уравнения на дробь и получают уравнение вида

Затем интегрируют это равенство и находят общее решение

 

II. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Опр. Уравнение вида называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка. В этом уравнении искомая функция y и её производная входят 1-ой степени (линейно)

· Если f(x)≠0, то уравнение называется неоднородным

· Если f(x)=0, то уравнение называется однородным

Один из способов решения линейного дифференциального уравнения 1-го порядка – это метод подстановки Бернулли.

1) По методу Бернулли решение уравнения ищется в виде

(1)

где u=u(x), v=v(x) - некоторыедифференцируемые функции. Одну из этих функций можно взять произвольно, другая определяется из уравнения

2) Найдем производную:

(2)

3) Подставим равенства (1) и (2) в уравнение и получим:

(*)

Группируем слагаемые

Так как одну из функций можно взять произвольно, то будем считать, что функция такая, что

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Умножим его на на и получим:

4) Находим интегралы, а значит и функцию

5) Подставляем функцию в уравнение (*) и находим

6) Обе функции подставляем в уравнение (1) и получаем решение дифференциального уравнения

III. Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

 

Опр. Уравнение вида (1) называется линейным однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами p и q. (Искомая функция , , входят в него линейно)

 

Общее решение уравнения (1) зависит от корней характеристического уравнения:

(2),

которое получается из уравнения (1) заменой , , на соответствующие степени k, причем сама функция y заменяется 1.

 

Возможны три случая:

 

Корни уравнения (2)	Общее решение уравнения	Частные решения уравнения
Действительные и различные (D>0)
Действительные и равные (D=0)
Комплексно сопряженные (D<0)

 

Решения типовых примеров

Пример 1. Найти общее и частное решение уравнения , если

Решение:

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Умножим его на дробь

Интегрируя это равенство, найдем общее решение дифференциального уравнения

Левая часть – это табличный интеграл

Правая часть уравнения – это интеграл, который найдем способом подстановки:

Итак, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Так как , то подставим х=1 и у=1 в общее решение уравнения и получим:

или

Значит частное решение дифференциального уравнения имеет вид:

 

Пример 2. Найти общее решение уравнения

Решение:

Это линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решим его с помощью подстановки Бернулли

1) По методу Бернулли решение уравнения ищется в виде

(1)

где u=u(x), v=v(x) - некоторыедифференцируемые функции. Одну из этих функций можно взять произвольно, другая определяется из уравнения

2) Найдем производную:

(2)

Подставим равенства (1) и (2) в заданное в условии уравнение и получим:

(*)

Группируем слагаемые

Так как одну из функций можно взять произвольно, то будем считать, что функция такая, что

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Умножим его на на и получим:

Левая часть уравнения– это табличный интеграл

Правая часть уравнения – это интеграл, который найдем способом подстановки:

Значит решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

Подставим найденное решение в уравнение (*) и найдем функцию u

Обе функции подставляем в уравнение (1) и получаем решение дифференциального уравнения

Пример 3. Найти общее и частное решение уравнения , если y=1 и =5 при х=0

Решение:

Решим соответствующее характеристическое уравнение:

D=36-52=-16<0

Общее решение уравнения:

Найдем y’ как производную произведения:

Т. к. х=0, у=1, =5, то получим систему:

e⁰=1, Sin0=0, Cos0=1, значит система упроститься и примет вид:

 

Частное решение уравнения: