Определения, аксиомы, теоремы

1.	Свойства прямой	1) Прямая бесконечна. 2) Через две точки можно провести только одну прямую. 3) Две прямые пересекаются только в одной точке. Пересечься в двух точках они не могут, так как через две точки можно провести только одну прямую.
2.	Отрезок	Отрезок – это все точки прямой, расположенные между двумя данными точками, которые называются концами отрезка.
3.	Свойства расположения точек	1) Прямая делит плоскость на две полуплоскости. 2) Из трёх точек прямой одна и только одна находится между двумя другими.
4.	Пересечение прямой и отрезка	Если концы отрезка лежат в одной полуплоскости, то прямая не пересекает отрезок. Если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, то прямая отрезок пересекает.
5.	Полупрямая (луч)	Полупрямая – это часть прямой, находящаяся в одной полуплоскости.
6.	Свойства измерения отрезков	1) Каждый отрезок имеет свою, отличную от нуля, положительную линейную меру. 2) Если на отрезке поставить точку, то она разобьёт его на два отрезка, сумма длин которых равна длине данного отрезка.
7.	Угол	Угол – это фигура, состоящая из точки и двух исходящих из неё лучей.
8.	Развёрнутый угол	Развёрнутый угол, это угол, образованный двумя дополнительными полупрямыми.
9.	Прохождение луча между сторонами угла	Если прямая исходит из вершины угла и пересекает отрезок, концы которого лежат на разных сторонах угла, то говорят, что полупрямая проходит внутри угла.
	Свойства измерения углов	1) Каждый угол имеет свою, отличную от нуля, положительную градусную меру. 2) Если внутри угла провести полупрямую, то она разобьём его на два угла, сумма градусных мер которых равна градусной мере данного угла.
	Свойство откладывания отрезков. Свойство откладывания углов	На данной полупрямой от её начала можно отложить только один отрезок данной линейной меры. От данной полупрямой в данной полуплоскости можно отложить только один угол данной градусной меры.
	Смежные углы	Смежные углы – это такие углы, у которых одна сторона общая, а две другие – дополнительные полупрямые.
	Свойство смежных углов	Теорема: Сумма смежных углов равна 180°.
	Виды углов	Острый угол более 0°, но менее 90°. Тупой угол более 90°, но менее 180°. Прямой 90°
	Вертикальные углы	У вертикальных углов стороны одного являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого.
	Свойство вертикальных углов	Теорема: Вертикальные углы равны.
	Параллельные прямые	Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.
	Перпендикулярные прямые	Прямые, образующие при пресечении прямые углы.
	Теорема о двух перпендикулярах к одной прямой	Теорема: Два перпендикуляра к одной прямой параллельны.
	Биссектриса	Полупрямая, которая исходит из вершины угла и делит его пополам.
	Аксиома	Истина, которая принимается без доказательств
	Теорема	Истина, которая принимается после некоторых умозаключений
	Треугольник	Это фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки.
	Равные треугольники	1) это такие треугольники, которые при наложении совмещаются всеми своими точками. Или 2) это такие треугольники, у которых все стороны и углы соответственно равны.
	Признаки равенства треугольников. Следствие.	1. Теорема: Если две стороны и угол, заключённый между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключённому между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 2. Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. 3. Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. СЛЕДСТВИЕ. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и против равных углов лежат равные стороны.
	Теорема о единственности опущенного перпендикуляра	Из точки вне прямой на данную прямую можно опустить перпендикуляр и притом только один.
	Медиана	Это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
	Биссектриса треугольника	Это отрезок биссектрисы угла треугольника, заключённый между вершиной и противоположной стороной.
	ВЫСОТА	Это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.
	Равнобедренный треугольник	Треугольник, у которого две стороны равны.
	Свойство равнобедренного треугольника	В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
	Свойство медианы равнобедренного треугольника	Теорема: Медиана угла при вершине равнобедренного треугольника является одновременно биссектрисой и высотой.
	а) Окружность	Замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра
	б) Круг	Часть плоскости, ограниченная окружностью
	в) Хорда	Отрезок, соединяющий две точки окружности
	г) Диаметр	Хорда, проходящая через центр
	д) Радиус	Отрезок, соединяющий центр с точкой на окружности
	е) Дуга	Часть окружности
	ж) Сектор	Часть круга, заключённая между двумя радиусами и дугой
	з) Сегмент	Часть круга, заключённая между хордой и дугой
	Аксиома параллельных прямых	ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ ВНЕ ПРЯМОЙ МОЖНО ПРОВЕСТИ ТОЛЬКО ОДНУ ПРЯМУЮ, ПАРАЛЛЕЛЬНУЮ ДАННОЙ
	Теорема о пересечении двух параллельных прямых третьей	Теорема: Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.
	Свойство двух прямых, параллельных третьей	Теорема: Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
	Углы при параллельных и секущей	При пересечении двух прямых третьей образуются четыре пары накрест лежащих углов, четыре пары односторонних углов и четыре пары соответственных углов.
	Признаки параллельности прямых	Теорема: если при пересечении двух прямых третьей окажется, что накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или односторонние углы в сумме равны 180°, то такие прямые параллельны.
	Свойство накрест лежащих, соответственных и односторонних углов	Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и односторонние углы в сумме составляют 180°.
	Теорема об углах с соответственно параллельными сторонами	Теорема: Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы равны, если они острые, или в сумме составляют 180°, если один из них острый, а другой – тупой.
	Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами	Теорема: Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°.
	Сумма углов треугольника. Следствия.	Теорема: Сумма углов треугольника равна 180°. СЛЕДСТВИЯ: 1) в равностороннем треугольнике все углы равны 60°; 2) в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°; 3) в прямоугольном равнобедренном треугольнике острые углы равны 45°; 4) внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним; 5) катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы; 6) если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то и третьи углы равны.
	Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника	Теорема: В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол (и обратно: против большего угла лежит бÓльшая сторона).
	Неравенство треугольника	Теорема: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
	Признаки равенства прямоугольных треугольников	Теоремы: 1) если катеты одного треугольника равны катетам другого треугольника, то такие треугольники равны; 2) если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны; 3) если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны; 4) если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.
	ГМТ	Геометрическое место точек – это все точки плоскости или пространства, обладающие одним и тем же свойством.
	Расстояние от точки до прямой. Наклонная.	Длина перпендикуляра, проведённого из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой. Любой другой отрезок, проведённый из этой точки к прямой, называется наклонной.
	Теорема о расстоянии между параллельными прямыми	Теорема: Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Теоремы


	Свойство смежных углов	Сумма смежных углов равна 180°. (Доказательство: У смежных углов одна сторона общая, а две другие - дополнительные полупрямые. А они образуют развёрнутый угол, который равен 180°. И внутри этого угла проходит луч, который делит его на две части, сумма градусных мер которых равна градусной мере этого угла, т.е. 180°.
	Свойство вертикальных углов	Вертикальные углы равны. (Доказательство: 1 и 3 – смежные. Их сумма 180°. 1 + 3 = 180°. 2 и 3 – смежные. Их сумма 180°. 2+ 3 = 180°. Приравниваем левые части, получаем 1 = 2.
	Теорема о двух перпендикулярах к одной прямой	Два перпендикуляра к одной прямой параллельны. (Док-во: Предположим, что перпендикуляры пересекутся и отобразим чертёж зеркально в нижнюю полуплоскость. Получилось противоречие: через две точки проходят две различные прямые. А через две точки можно провести только одну прямую. Следовательно, предположение не верно. Значит, прямые не пересекаются.)
	Теорема о единственности опущенного перпендикуляра	Из точки вне прямой на данную прямую можно опустить перпендикуляр и притом только один.
	Первый признак равенства треугольников.	Если две стороны и угол, заключённый между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключённому между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
	Второй признак равенства треугольников.	Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
	Свойство равнобедренного треугольника	В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
	Свойство медианы равнобедренного треугольника	Медиана угла при вершине равнобедренного треугольника является одновременно биссектрисой и высотой.
	Третий признак равенства треугольников.	Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.