Кинематические характеристики точки М в переносном

Расчетно-графическая работа К5

Сложное движение точки при переносном вращательном движении.

Дано: Диск радиуса R = 72 см вращается вокруг неподвижной оси O z, перпендикулярной плоскости диска (x O y) (рис.5.1) и проходит через точку O (диск вращается в своей плоскости).

Уравнение вращательного движения диска дано:

, , , где .

Положительное направление отсчета угла показано на рис.5.1 дуговой стрелкой, направленной против часовой стрелки.

По ободу диска движется точка М, траекторная координата этого движения, отсчитываемая от точки «Н», изменяется согласно уравнению

= + A О sin k t, где , A О, k – постоянные величины: =0 см;

A О = 36 см, k= . ОО₁= L = см.

Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение (относительно неподвижной системы координат ) точки М в момент времени , где .

Решение:

За подвижную систему отсчета принимаем диск, а связанные с ним оси координат ─ подвижные оси (изображены на рис 5.2).

За абсолютную (неподвижную) систему отсчета принимаем подшипник O, а связанные с ним оси координат XOYZ ─ неподвижные оси).

─ Относительное движение − перемещение точки М относительно диска в подвижной системе координат по ободу диска, т.е. по окружности (траекторный или естественный способ задания движения точки); все кинематические характеристики этого движения обозначаются с индексом «r»: , , .

─ Переносное движение − движение неизменяемой среды, неизменно связанной с подвижной системой отсчета Псо - (диском), относительно неподвижной системы отсчета XOYZ − (вращательное вокруг оси OZ); все кинематические характеристики этого движения обозначаются с индексом «»: , , ,, , .

─ Абсолютное движение −перемещение точки М относительно неподвижной системы отсчета XOYZ; все кинематические характеристики этого движения обозначаются с индексом «»: , .

На рис.5.2 изображено положение диска и связанной с ним под-

вижной системы координат в заданный момент времени :

= (1/3)·1³ = 1/3 рад = 19°

Кинематические характеристики точки М в относительном

Движении

Для этого следует воспользоваться формулами раздела “ Кинематика точки” ¾ при естественном (траекторном) способе задания ее движения.

Траекторная координата точки М, заданная уравнением

= + A О sin k t,

после подстановки – =0 см; A О = 36 см, k= , примет вид

= 36π· sin (π/6) ·t. (5.1)

При t=1с: = 36·3,14· sin (π/6) 1=56,55 см.

a = = 56,55 / 72 = 0,785 рад = 45°; β = a − .

На рис.5.2 определено положение точки М на диске в момент времени (а не в произвольном положении, показанном на рис.5.1) в подвижной (относительной) системе отсчета ¾ при естественном (траекторном) способе задания ее движения, при котором >O.

Cкорость точки М: , где ─ орт касательной в данной точке траектории, направленный в сторону возрастания траекторной координаты s;

= (5.2)

= 6 π² 0,866 = 59,2 × 0,866 = 52,3 см/с; так как > 0, то .

Ускорение точки М: , (5.3)

где ─ касательное, а ─ нормальное ускорения точки; = ; (5.4)

= - p³0,5= - 15,5 см/с2. Так как < 0, то ¯ .

= ; = 51,3²/ 72 = 36,5 см/с2, (5.5)

где ρ ─ радиус кривизны траектории в данной точке.

Все векторы , и определены для момента времени и изображены на чертеже (без определения ).

Кинематические характеристики точки М в переносном

Вращательном движении

Для этого следует воспользоваться формулами раздела “ Кинематика твердого тела” для случая вращательного движения твердого тела (диска), принятого за подвижную систему отсчета () вокруг оси O Z.

, , , , , .

Угловая скорость диска: = с^-1. (5.6)

= 1 с-1; так как >0, то OZ.

Угловое ускорение диска: = с^-2. (5.7)

= 2 с-2; так как > 0, то .

Скорость точки в переносном вращательном движении:

; величина скорости , (5.8)

где – расстояние точки М до оси вращения тела, принятого за подвижную систему отсчета; в данном случае = МО = , где , ─ координаты точки М, как видно из рис.6.9 определяются следующим образом:

; . (5.9)

= 72 0,899 – 50,76 0,946 =

= 64,7 – 48 = 16,7 см;

= 72 0,438 + 50,76 0,325 =

= 31,5 + 16,5 = 48 см.

=

Скорость точки М в переносном движении:

; =1 50,9 = 50,9 см/с, вектор в сторону .

Ускорение точки в переносном движении = + , (5.10)

где осестремительное ускорение точки в переносном движении,

= , величина его ─ = ; (5.11)

= 50,9 см/с2.

Направление вектора ─ по МО от точки М к оси вращения ОZ.

Вращательное ускорение точки М в переносном движении,

= , величина его ─ = ; (5.12)

= 2 50,9 = 101,8 см/с².

Так как вращение диска происходит вокруг оси ОZ ускоренно, т.е.

, то и вектор .

Все векторы определены для данного момента времени и направление их показано на рис.5.2 (без определения геометрической суммы ускорений ─ ).

Определение ускорения Кориолиса

Ускорение Кориолиса определяется векторным произведением

(5. 13),

из которого следуют его величина и направление.

Согласно правилу векторного умножения, вектор направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и (рис. 5. 2), в ту сторону, откуда поворот от к на наименьший угол кажется против направления часовой стрелки ( Oz; , т.е. ¯ ).

Величина ускорения Кориолиса определяется как

. (5. 14)

= 2×1×51,3× sin 90° = 102,6 см/с2.

3. Кинематические характеристики точки в абсолютном движении

Для определения скорости и ускорения точки М в абсолютном движении, необходимо воспользоваться теоремами «о сложении скоростей и сложении ускорений», где , ─ являются результатом геометрического суммирования соответствующих величин относительного и переносного движения:

, величина скорости: . (5.15)

или в проекциях на оси неподвижной системы координат OXYZ:

, величина: (5.16)

Как видно из рис.5.2 векторы всех составляющих скоростей и ускорений точки М лежат в плоскости XOYZ, в которой лежат и оси М , поэтому в данном примере рациональнее найти величины и из следующих выражений:

,

где = см/с;

см/с.

= см/с.

, где

=

= см/с²;

=

= см/с².

см/с²

Ответ: = 39 cм/c; = 160 cм/c²