Перемещения точек. Связи механической системы. Их классификация.

Тема 4: Плоскопараллельное движение тела

Лекция 5. Задание и кинематический анализ плоскопараллельного движения тела

Плоскопараллельным или плоским называют движение твердого тела, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, как показано на рис. 4.1.

Эту неподвижную плоскость принято называть основной плоскостью.

Рисунок 4.1 – Модель плоско-паралельного движения

Плоскопараллельное движение тел является одним из наиболее распространенных в технике. Такое движение осуществляют тела качения (колеса, катки, цилиндры), отдельные детали механизмов, предназначенных для преобразования вращательного движения одного тела в поступательное; шестерни планетарных передач и т.д. Для описания плоского движения тела достаточно описать движение проекции твердого тела на основную плоскость. Эту проекцию принято называть плоской фигурой (см. рис. 4.1). Движение плоской - кой фигуры можно рассматривать как результат сложения поступательного движения и вращения вокруг одной из точек, которую называют полюсом. В качестве полюса принято выбирать точку тела, кинематические характеристики движения которой известны. На рис. 4.2 полюсом является точка А.

Уравнение плоскопараллельного (плоского) движения имеют следующий вид:

, (4.1)

где ‑ координаты полюса в неподвижной системе координат, ‑угол поворота вокруг полюса. Положение любой точки тела, не совпадает с полюсом, может быть определено двумя способами:

Рисунок 4.2 - Определение координат произвольной точки тела
при плоскопараллельном движении

с одной стороны, если задан отрезок, то закон движения точки приобретает следующий вид:

(4.2)

где – X_B, Y_B ‑ координаты точки В в неподвижной системе координат; a ‑ угол, который образует отрезок АВ с осью подвижной системы координат. Поскольку подвижная система координат связана с точками твердого тела, то угол при движении тела остается постоянным (см. рис. 4.2);

с другой стороны, можно воспользоваться формулами связи при повороте одной системы координат относительно другой:

(4.3)

где - координаты точки в подвижной системе координат, которые остаются неизменными в процессе движения. По уравнениям движения точки (4.2) или (4.3) могут быть определены траектория точки, ее скорость и ускорение - по формулам (4.1) и (4.4).

Также, кинематические характеристики точки тела при плоскопараллельном движении могут быть определены с помощью векторного способа. В этом случае вектор скорости определяют следующим образом:

(4.4)

где - проекции вектора скорости полюса на оси неподвижной системы координат, - вектор и модуль угловой скорости тела. Вектор ускорения:

(4.5)

где - проекции вектора скорости полюса на оси неподвижной системы координат, - вектор и модуль угловой скорости тела. Вектор ускорения:

проекции вектора ускорения полюса на оси неподвижной системы координат, - вектор и модуль углового ускорения тела. Следует заметить, что вектор торы угловой скорости тела и его углового ускорения при плоскопараллельном движении все время перпендикулярны основной плоскости. Отсюда можно получить удобные формулы для определения угловой скорости и углового ускорения тела при его плоскопараллельном движении по известным скоростями и ускорениями двух его точек

(4.6)

В любой момент движения плоской фигуры вдоль основной плоскости имеется точка, скорость которой равна нулю. Эту точку называют мгновенным центром скоростей (принятое сокращение - МЦС).

МЦС находится на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей точек (рис. 4.3), тогда по известной скорости одной из точек и ее расстояния до МЦС сначала определяют угловую скорость и направление вращения плоской фигуры, а затем - величину и направление скорости другой точки.

К типичным случаям определения МЦС относят следующие:

1) качение колеса происходит без проскальзывания по неподвижной поверхности (рис. 4.4). В каждый момент движения тела при его качении без скольжения МЦС ‑ это точка соприкосновения тела с неподвижной поверхностью. Угловую скорость колеса определяют по отношению скорости центра колеса к его радиусу;

 

Рисунок 4.3 – Общий случай определения положения МЦС

Рисунок 4.4 – Определение положения МЦС, мгновенной угловой скорости и ускорения при качении колеса

2) известны направления движения двух точек тела, а векторы скоростей точек параллельны между собой и перпендикулярны отрезку, соединяющему точки. Это часто встречается, если определяют угловые скорости тел качения, как на рис. 4.5а. МЦС находится на пересечении прямой, соединяющих точки, и линии, соединяющей концы векторов скоростей точек. Величине скоростей точек при этом должны быть известны. При противоположном направлении векторов скоростей (рис. 4.5б) МЦС расположен между точками, скорости которых известны; при одинаковом направлении ‑ со стороны меньшей скорости и на продолжении отрезка, соединяющего точки;

3) векторы скоростей точек параллельны между собой, но не перпендикулярны отрезку, их соединяющему (рис. 4.6). В этом случае принято говорить о мгновенно-поступательном движении тела, поэтому угловая скорость тела равна нулю, а скорости всех его точек равны между собой. Следует добавить также, что равенство скоростей наблюдается только в данный момент движения тела, но в то же время ускорение точек тела разные.

а) б)
Рисунок 4.5 – Определение МЦС, если векторы скоростей двух точек тела
перпендикулярны соединяющей их прямой:

а) векторы направлены в одну и ту же сторону,

б) векторы направлены в противоположные стороны

Рисунок 4.6 – Случай мгновенно-поступательного движения

КИНЕТИКА

Лекция 6. Введение.

Кинетика — раздел механики, вкотором изучают общие законы движения и равновесия материальных объектов с учетом их масс и сил, действующих на эти объекты. Кинетика подразделяется на с татику, изучающую равновесие механических систем и эквивалентность сил, к ним приложенных,и динамику, изучающую движение механических систем с учетом их масс и сил, на них действующих.

В теоретической механике для построения теории используется аксиоматический подход, согласно которому исходные положения теории формулируются в виде аксиом. Достоверность последних устанавливается последующим опытом использования выводов теории в познавательной практической деятельности человека. Начала аксиоматического построения механики предложены в 1687 г. И. Ньютоном в трактате «Математические начала натуральной философии». Эти аксиомы включали понятия о пространстве и времени, материальной точке и абсолютно твердом теле, силе, массе и другие, например, так называемые законы Ньютона. Вместе с тем этот путь не является единственным. В современном изложении теоретической механики используют наряду с аксиомами и другие общие положения, получившие называние принципы механики.

Перемещения точек. Связи механической системы. Их классификация.

Мерой механического взаимодействия МТ, АТТ, МС является сила.

Силы принято разделять на активные и реактивные – реакции связей.

Связями называют в механике любые ограничения, накладываемые на положение и скорость рассматриваемого объекта.

Пружина или силовое поле, например, поле тяжести или поле тяготения, связями не являются, т.к. не накладывают никаких ограничений на положение или скорость объекта, взаимодействующего с ними.

Механическая система со связями называется несвободной в противоположность свободной системе, у которой связей нет (Солнечная система, например).

Можно сказать, что именно учет наличия связей на аналитическом уровне в задачах механики и составляет одну из основных проблем теоретической и аналитической механики.

Основными объектами в аналитической механике: материальная точка (МТ), абсолютно твердое тело (АТТ), механическая система (МС).

Материальная точка – это простейшая модель материального тела, представленного геометрической точкой, которая, как и реальный объект, обладает массой и способностью взаимодействовать с другими материальными телами. Масса материальной точки – это физическая величина, являющаяся мерой ее инертных и гравитационных свойств. Масса определяется методами, отражающими указанные свойства. По современным представлениям гравитационная и инерционная массы, проявляемые в различных механических опытах и явлениях, представляют собой одно и то же. Физические эксперименты дают разницу их друг от друга с точностью, не более 10^-12 их значения. Единицей массы в системе СИ (международной) является килограмм (кг).

Далее в тексте наряду с термином «материальная точка» для краткости будет употребляться термин «точка», если это не вызовет многозначности.

Абсолютно твердым телом называют такую совокупность материальных точек, расстояния между которыми в процессе движения остаются неизменными.

Далее в тексте для краткости вместо термина «абсолютно твердое тело» будут употребляться термины «твердое тело» и «тело».

Механической системой называют модель материальных объектов, представленных совокупностью материальных точек и (или) тел, положения и движения которых взаимосвязаны.

Для объединения этих понятий будем считать, что рассматривается система взаимодействующих N материальных точек P_i (i =1,2,…, N, N =1,2,…). Сохраним в дальнейшем, если не будет оговорено другое, за индексом i значение номера точки в таком объекте, а за N – число точек.

Среди различных реальных и воображаемых перемещений точек МС принято выделять действительные (конечные и бесконечно малые), возможные и виртуальные.

Действительными перемещениями механической системы будем называть конечные и бесконечно малые перемещения точек системы, происходящие во времени в соответствии с действующими на нее силами и имеющимися связями, согласованные с начальными условиями.

Возможными перемещениями механической системы будем называть бесконечно малые воображаемые согласованные со связями перемещения ее точек за бесконечно малый промежуток времени.

Виртуальными перемещениями механической системы будем называть бесконечно малые воображаемые согласованные со связями перемещения ее точек без изменения времени.

Виртуальные перемещения можно трактовать как разность между возможными, совершенными за один и тот же промежуток времени. Т.е. это не перемещения, а сравнение возможных перемещений.

Рис. 6.1.

Рис. 6.1 иллюстрирует введенные понятия для одной из точек (Mi) системы. Показана траектория и положение точки в некоторый момент времени t, векторы действительного бесконечно малого перемещения , происшедшего за бесконечно малый промежуток времени dt, двух возможных перемещений и за тот же промежуток времени, виртуального перемещения .

Заметим, прежде всего, что наличие связи аналитически будет отражаться записью уравнения связи, вида

,

в которое будут входить, согласно определению, координаты и скорости точек, положение и скорость которых принимают согласованные со связями значения. В более компактной записи это уравнение будем записывать

, (6.1)

или, еще короче

, i=1,2,…,N. (6.2)

 

Здесь j ‑ номер связи, j =1,2,…, l, l – число связей (будем придерживаться для j и l этих обозначений и далее).

Заметим также, что действие некоторых связей носит односторонний характер и может прекращаться, когда МС покидает связь (таковы, например, нить, гладкая поверхность и т.п.). Аналитически это будет отражаться тем, что вместо равенства в качестве уравнения связи будет использоваться неравенство

. (6.3)

Это неравенство превращается в равенство, когда связь работает, т.е. включена или напряжена, когда же связь не работает, т.е. выключена, ее можно не учитывать. Таким образом, уравнением связи может быть равенство или неравенство. Причем без ограничения общности можно считать, что имеет место всегда равенство.

Например, для твердого тела – стержня АВ (рис. 6.2), можно записать уравнение связи в виде

, (6.4)

где x_A, x_B, y_A, y_B, z_A, z_B – координаты концов стержня. В то же время, если вместо стержня AB точки A и B соединить нерастяжимой нитью AB (рис. 6.3),

Рис. 6.2

Рис. 6.3

то уравнение связи представится неравенством

(6.5)

Проведем классификацию связей.

1. Из определения следует разделение на связи, ограничивающие положение точек (геометрические связи), при этом уравнение связи имеет вид

, (6.6)

 

и связи, накладывающие ограничения на скорости точек (кинематические связи) с уравнением вида (6.2), причем очень часто это уравнение линейно относительно скоростей

 

. (6.7)

 

2. Если время в уравнение связи явно не входит, т.е. уравнение (6.2) представляется записью

,

то связь называется стационарной или склерономной, в другом случае, ‑ нестационарной или реономной.

 

Примеры геометрических связей представлены рис. 6.2 и 6.3, а кинематических – рис. 6.4 (клиноременная передача) и рис. 6.5 (качение шара без проскальзывания). В качестве уравнения связи рис. 6.4 можно взять кинематическое соотношение между угловыми скоростями шкивов (предполагается, что скольжение ремня по шкивам отсутствует)

,

где w ₁, w ₂ – угловые скорости шкивов, а R₁ и R₂ – их радиусы. В случае, показанном на рис. 6.5, можно записать .

Рис. 6.4

Рис. 6.5

3. Связь называется удерживающей или односторонней, если ее уравнение представляется равенством (6.2), и неудерживающей или двусторонней, если ее уравнение представляется неравенством (6.3).

В качестве примера рассмотрим рис. 6.6 и 6.6.

Рис. 6.6

Рис. 6.7

В первом случае длина нити, на которой подвешен маятник, постоянна, в другом случае – переменна. Поэтому, если в первом случае (рис. 6.6) уравнением связи будет равенство (6.4) или неравенство (6.5), в зависимости от того, АВ это нить или стержень, то во втором случае (рис. 6.7) ‑ длина маятника меняется согласно некоторому закону, поэтому следует записать

или

.

 

4. Связь называется голономной, если она геометрическая или кинематическая и ее уравнение путем интегрирования можно привести к виду (6.6). Если уравнение кинематической связи нельзя проинтегрировать, то такая связь называется неголономной. Таким образом, все геометрические связи являются голономными. Механическая система, у которой имеется хоть одна неголономная связь, называется неголономной.

5. Связь называется идеальной, если суммарная работа сил ее реакций при любом виртуальном перемещении системы равна нулю

, (6.8)

где ‑ сила реакции связи, приложенная к i -й точке.

Большинство связей, рассматриваемых в теоретической механике, обладают свойством идеальности.

Из определения понятно, что идеальные связи не рассеивают и не добавляют энергии МС. Второе – очевидно, а первое и составляет идеальность, обычно связанную с пренебрежением силами трения.

Реакции связей практически никогда полностью не бывают известными и их нахождение, часто, и является основной целью решения задач динамики или статики. С другой стороны, во многих задачах, наоборот, они интереса не представляют, а их приходится находить, чтобы найти необходимые неизвестные и решить задачу. Для большого класса задач, в которых имеют место идеальные связи, удается построить решение задачи без рассмотрения реакций таких связей. Приведем примеры идеальных связей.

Абсолютно твердое тело. Силы взаимодействия любой пары точек тела одинаковы и противоположны, т.е.

(здесь i и k – номера точек). Расстояние между точками неизменно, т.е.

. (6.9)

Поскольку силы направлены вдоль прямой, соединяющей эти точки, то , где l ‑ некоторый скалярный множитель. Тогда выражение суммарной виртуальной работы этих сил будет иметь вид

 

.

Последнее справедливо, в силу выполнения условия (6.9).

Рис. 6.8	Скольжение тела по гладкой поверхности. В этом случае (рис. 6.8) векторы силы реакции поверхности и виртуального перемещения тела будут взаимно перпендикулярными, и, следовательно, . Скольжение тела по шероховатой поверхности. В этом случае (рис. 6.9) добавится виртуальная работа силы трения скольжения , что делает, т.е. связь не идеальной, т.к. .
Рис. 6.9	Качение без проскальзывания. В этом случае (рис. 6.9) вектор виртуального относительного перемещения точки контакта тела с поверхностью , следовательно, .