Определители
1.1 Свойства определителей
Определителем или детерминантом n-го порядка называется число, записываемое в виде
[1] 
и вычисляемое по данным числам 
(действительным или комплексным) – элементам определителя – по следующему закону:
,
распространенная на всевозможные различные перестановки 
из чисел 
. Число 
равно числу транспозиций, которые нужно сделать, чтобы перейти от основной перестановки к перестановке n -го порядка . Произведение 
называется членом определителя.
Определители n-го порядка удовлетворяют свойствам:
а) Величина определителя не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами;
б) Величина определителя меняет знак, если у него переменить местами строки (столбцы);
в) Величина определителя умножается на число k (действительное или комплексное), если элементы какого-либо его столбца или строки умножить на k (т.е. множитель, присутствующий с строке или столбце, можно выносить за знак определителя);
г) Величина определителя равна 0, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю;
д) Величина определителя равна 0, если элементы двух строк или столбцов соответственно равны;
е) Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения этих элементов равна величине определителя (см. п.1.2 Разложение определителя по строке и столбцу);
ж) Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) определителя на соответствующие адъюнкты (алгебраические дополнения) элементов другой строки (столбца) равна нулю:
, 
;
з) Пусть даны два определителя n -го порядка 
и 
, у которых все строки (столбцы) одинаковы, кроме определенной одной (одного). Сумма таких определителей равна определителю n -го порядка, у которого указанная строка (столбец) состоит из суммы соответствующих элементов этой строки (столбца) определителей и ;
и) Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на число k;
к) Пусть 
, 
. Произведение двух определителей n -го порядка с элементами 
и 
есть в свою очередь определитель n -го порядка с элементами 
, т.е.
1.2 Разложение определителя по строке и столбцу
Возьмем определитель n -го порядка:
.
Вычеркнем из этого определителя i -ую строку и k -ый столбец. Оставшееся выражение порождает определитель (n-1)-го порядка 
, называемый минором элемента . Величина же 
называется алгебраическим дополнением или адъюнктом элемента .
- разложение определителя по элементам i -ой строки,
- разложение определителя по элементам k -го столбца;
Определитель
,
порожденный числами 
называется степенным или определителем Вандермонда [2]. Определитель Вандермонда будет равен нулю, если среди чисел есть одинаковые.
Правило Крамера [3]. Зададим систему или n линейных уравнений с n неизвестными
.
Числа (действительные или комплексные), называемые коэффициентами системы, заданы. Можно говорить, что система определяется матрицей
ее коэффициентов.
Если определитель данной системы не равен 0, т.е. 
, то система имеет единственное решение для любого вектора y, вычисляемое по формуле Крамера 
, где 
- определитель, получаемый из определителя , если в нем заменить числа j -го столба соответственно на числа 
:
.
Таким образом 
, где 
- адъюнкт элемента 
в определителе .
2. Комплексные числа
2.1 Понятие комплексного числа
Комплексными числами называются упорядоченные пары 
действительных чисел. Выражения 
– алгебраическая форма к.ч., где 
- действительные числа, а 
- специальный символ; при этом для комплексных чисел 
, 
введены понятия равенства и арифметические операции по следующим правилам:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
.
Из 1) и 3) следует, что 
.
Таким образом, введенные операции сложения и умножения обладают свойствами:
1) коммутативности 
;
2) ассоциативности 
;
3) дистрибутивности 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
.
Если на плоскость введена декартовая прямоугольная система координат 
, то всякому комплексному числу 
может быть поставлена в соответствие некоторая точка 
с абсциссой x и ординатой y. При этом говорят, что точка изображает к.ч. . Плоскость, на которой изображаются к.ч., называется комплексной плоскостью. Ось 
– действительной осью, а ось 
– мнимой осью.
Число 
называется модулем к.ч. и обозначается символом 
. Модуль числа z равен расстоянию от начала координат до точки M, изображающей это число.
Всякое решение 
системы уравнений
(*)
называется аргументом к.ч. 
. Все аргументы числа z различаются на целые кратные 
и обозначаются единым символом 
.Каждое значение аргумента совпадает с величиной некоторого угла, на который следует повернуть ось до совпадения с радиус-вектором 
точки M (при этом 
, если поворот совершается против часовой стрелки, и 
в противном случае). Значение , удовлетворяющее условию 
, называется главным значением аргумента и обозначается символом 
. В некоторых случаях главным значением аргумента называется значение , удовлетворяющее условию 
.
.
Из соотношений (*) следует, что для всякого к.ч. z справедливо равенство
,
называемое тригонометрической формой числа z.
Для к.ч. 
и 
в тригонометрической форме, где 
и 
, справедливы равенства:
,
.
2.2 Комплексные числа в показательной форме
Пусть - произвольное действительное число. Символом 
обозначается комплексное число 
. С помощью этого обозначения всякое к.ч. может быть записано в показательной форме
.
Формулы Эйлера:
Для к.ч. 
и 
в показательной форме, где и , справедливы равенства:
,
,
,
.
Число 
называется сопряженным к комплексному числу . Очевидно, что 
.
Операция построения сопряженного к.ч. обладает следующими простыми свойствами:
, 
, 
.
Формула Муавра:
.
2.3 Разложение многочленов на множители
Многочленом n -ой степени называется функция вида
,
где 
– постоянные коэффициенты (действительные или комплексные), а 
– комплексная переменная, которая может принимать любые комплексные значения 
или, выражаясь геометрическим языком, может быть любой точкой комплексной плоскости.
Если 
при 
, то число 
называется корнем или нулем многочлена 
.
Для многочленов определены следующие арифметические операции:
В результате операций 1) и 2) снова получится многочлен. Частное двух многочленов может не быть многочленом.
Деление многочленов с остатком.
, 
,
где 
– частное, а 
– остаток.
Теорема Безу.
Для того, чтобы многочлен имел (комплексный) корень 
, необходимо и достаточно, чтобы он делился на 
, т.е. чтобы его можно было представить в виде произведения 
, где 
– некоторый многочлен степени n-1.
Если при разложении 
, то на основании теоремы Безу применимой к 
, многочлен не делится на , а хотя и делится на , но не делится на 
. В этом случае говорят, что – простой корень (нуль) многочлена 
.
Пусть теперь 
. Тогда по теореме Безу, применимой к , многочлен делится на , и мы получим 
, где 
– некоторый многочлен степени n-2. Если 
, то делится на , но не делится на 
, и тогда число называется корнем (нулем) кратности 2.
В общем случае для некоторого натурального 
имеет место
,
где 
– многочлен степени n-s, и тогда говорят, что – корень (нуль) многочлена кратности s.
Теорема Гаусса (основная теорема алгебры).
Всякий многочлен n -ой степени (ненулевой, т.е. 
) имеет по крайней мере один комплексный корень (нуль).
Следствие из теоремы Гаусса.
Многочлен n -ой степени со старшим не равным нулю коэффициентом 
имеет n комплексных корней с учетом кратности, иначе говоря представляется в виде произведения
,
где 
– различные корни кратностей, соответственно 
.
Если у многочлена с вещественными коэффициентами есть комплексные корни, то они входят сопряженными парами, т.е. если – корень многочлена , то и корень будет являться корнем многочлена .
Раскладывая в разложении на квадратичные множители многочлена комплексные корни на сопряженные, т.е. 
получим разложение многочлена на линейные множители.
В результате получим разложение вида
,
где 
отвечает вещественному корню b кратности l, а 
– комплексным корням и 
кратности m.
3. Алгебра матриц
3.1 Умножение матриц
Матрицей размера 
или ()- матрицей называется прямоугольная таблица из чисел 
, 
, 
,
,
состоящая из 
строк и 
столбцов. При 
матрица называется квадратной матрицей n-ого порядка.
Суммой 
()- матриц 
и 
называется матрица 
того же порядка, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц 
и 
:
, 
, .
Легко видеть, что
,
.
Замечание: складывать можно только матрицы одного размера.
Произведением 
матрицы на число 
(действительное или комплексное) называется матрица , получающаяся из матрицы умножением всех ее элементов на :
, , .
Причем 
.
Произведением 
- матрицы на 
- матрицу называется 
-матрица , элемент которой 
, стоящий в i -ой строке и в j -ом столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i -ой строки матрицы и j -ого столбца матрицы :
, , 
.
Легко видеть, что
.
Матрицы и называются перестановочными (коммутирующими), если 
.
Свойства умножения квадратных матриц.
1) При перемножении квадратных матриц, допустим 
-матрицы на -матрицу , получим -матрицу 
. Причем 
.
2) 
, 
, т.е. матрица 
коммутирует с . Вообще 
.
Матрица 
называется транспонированной к матрице , если выполняется условие
для всех 
, где 
и 
– элементы матриц и соответственно. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется.
Матрица транспонированного произведения есть произведение транспонированных матриц в обратном порядке, т.е.
.
3.2 Обратная матрица
Квадратная матрица называется вырожденной (особенной), если ее определитель равен 0, и невырожденной (неособенной) в противном случае. Если – невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица 
такая, что
,
где E – единичная матрица (т.е. такая, на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны 0). Матрица называется обратной к матрице и ищется следующим образом:
,
где 
– транспонированная к матрице, составленной из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .
Решение матричных уравнений.
1) 
Домножив справа на , получим
.
2) 
Домножив слева на , получим
.
3) 
Домножив слева на и справа на 
, получим
.
Решение систем линейных уравнений.
Дана система:
.
Решение:
Данная система является частным случаем матричного уравнения 2), где
, 
, 
.
При условии, что 
система имеет единственное решение, а именно
, где 
.
Рассмотрим теперь на примере системы:
.
Решение:
(*)
Полученное матричное уравнение имеет вид 2), т.е. . Находим матрицу , обратную к матрице :
; 
Преобразовав наше матричное уравнение (*) как описано выше в пункте 2), получим
4. Линейные пространства
4.1 Понятие линейного пространства
Множество L называется линейным (векторным) пространством, если выполнены следующие условия:
1) В L введена операция сложения элементов, т.е. 
определено отображение 
(обозначение: 
), обладающее следующими свойствами:
- 
;
- 
;
- 
(элемент 0 называется нулевым);
- 
(элемент – x называется противоположным элементу x);
2) В L введена операция умножения элементов на действительные (комплексные) числа, т.е. 
определено отображение 
(обозначение: 
), обладающее следующими свойствами:
- 
;
- 
;
3) Операция сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:
- 
;
- 
;
Элементы линейного пространства называются векторами. Пространство L называется действительным, если в L операция умножения векторов на число определена только для действительных чисел, и комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел.
Примеры линейных пространств:
1) 
– пространство геометрических векторов 
. 
:
- если 
, то 
;
- если 
, то 
.
2) 
– арифметическое пространство.
– множество упорядоченных наборов из n вещественных чисел со следующими правилами:
, 
, 
3) 
– пространство многочленов.
, 
, 
4) 
– пространство ()-матриц.
(), 
()
5) 
– пространство функций, непрерывных на 
.
, 
, 
, 
Подпространством линейного пространства L называется такое подмножество 
, которое обладает свойствами:
1) 
;
2) 
.
Выводы:
1) всякое подпространство содержит 
;
2) каждый вектор в подпространство входит с противоположным.
Теорема 1.
Подпространство линейного пространства само является линейным пространством относительно операций сложения и умножения векторов на число.
является линейной комбинацией векторов системы S, если 
, где 
.
Совокупность линейных комбинаций векторов системы S из линейного пространства L называется линейной оболочкой, т.е.
Теорема 2.
Линейная оболочка 
системы S в линейном пространстве L образует подпространство в L.
Линейная оболочка системы – наименьшее подпространство, содержащее все векторы системы.
4.2 Линейная зависимость и независимость системы векторов
Система векторов 
называется линейно зависимой, если найдутся числа 
, не равные одновременно нулю и такие, что 
; в противном случае эта система называется линейно независимой.
Свойства:
1) 
– линейно зависима, если 
;
2) 
– линейно зависима, если 
;
3) Если система содержит зависимую подсистему, то вся система зависима.
Следствия:
1) Всякая часть линейно независимой системы линейно независима;
2) Система, содержащая – линейно зависима;
3) Система, содержащая два равных или пропорциональных вектора, линейно зависима.
Критерий линейной зависимости.
Для того, чтобы система векторов была линейно зависима необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из ее векторов линейно выражался через другие.
Геометрический смысл линейной зависимости.
1) Система из 2-х векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда они коллинеарны, т.е.
– линейно зависима, когда 
.
Замечание: коллинеарен любому (каждому) вектору.
2) Система из 3-х векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда они компланарны.
3) Любая система из 4-х и более векторов – линейно зависима.
4.3 Ранг системы векторов
Рангом системы векторов называется размерность ее линейной оболочки, т.е.
.
Подсистема 
системы 
называется базой в , если
1) – линейно независима;
2) Любой вектор из линейно выражается через векторы .
4.4 Сохранение ранга системы векторов при элементарных преобразованиях.
Пусть 
, а 
. Если все векторы 
линейно выражаются через векторы 
, то
Доказательство:
Т.к. 
и 
, то вышесказанное будет доказано, если докажем, что 
. Для любого 
имеет разложение 
, но каждый вектор 
линейно выражается через
, 
, (*)
где 
и т.д.
Из (*) 
, , т.е. есть включение .
Элементарные преобразования системы векторов:
1) перестановка 2-х векторов;
2) умножение вектора на число, не равное 0;
3) добавление к одному вектору другого, умноженного на коэффициент.
Теорема.
При элементарных преобразованиях ранг сохраняется:
.
4.5 Базис и размерность линейного пространства.
Число n называется размерностью линейного пространства L, если:
1) в L существует система из n линейных векторов;
2) любая система из n+1 векторов в L – линейно зависима.
Замечание: В n -мерном пространстве L линейно зависима любая система из 
вектора.
Базисом n -мерного линейного пространства L называется всякая линейно независимая система в L, состоящая из n -векторов.
Базисы в линейных пространствах.
1) , 
.
Базис в L – любая тройка некомпланарных векторов. Канонический базис:
.
2) 
, 
.
Базис в L образует, например, 
. Канонический базис:
.
3) 
, 
.
4) 
, 
.
Канонический базис:
.
Библиографический список:
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1984.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1984.
3. Под редакцией Ефимова А.В., Демидовича Б.П. Сборник задач по математике для втузов. Ч.1. Линейная алгебра и математический анализ. – М.: Наука, 1986.
Последняя редакция:
12.2002 г.
[1] Существует также и другое обозначение определителя, которое может встретится далее:.
[2] А.Т. Вандермонд (1735 – 1796 гг.) – французский математик.
[3] Г. Крамер (1704 – 1752 гг.) – швейцарский математик.
