Модель управления запасами при вероятностном спросе и мгновенных поставках

Рассмотрим некоторые задачи управления запасами при вероятностном спросе. Простейшим случаем управления запасами является однократное принятие решений на пополнение запасов [І8]. Рассмотрим этот вариант.

I вариант. Рассмотрим модель управления запасами при вероятностном спросе и мгновенных поставках. Пусть - запас продукта к началу операции; - запас после пополнения ( ), а ( ) - случайный спрос за время операции ; - плотность распределения спроса; - расходы на пополнение запасов.

Предположим, что заказ на пополнение выполняется мгновенно. Если к концу операции на складе остается часть невостребованного запаса , то система снабжения несет расходы на сохранение избыточного запаса (при , ). Наоборот, при неполном удовлетворении спроса ( ) система платит штраф за дефицит . Тогда математическое ожидание суммарных расходов системы за период равно

. (7.3.28)

Найдем, при каких значениях величина будет минимальной. Для этого определим

, (7.3.29)

где , , - обозначены частные производные по соответствующим функциям (в (7.3.29) учтено, что , и положим ).

В общем случае функция при фиксированных может иметь несколько минимумов.

Обозначим через абсциссу абсолютного минимума , а через , , точки следующих относительных минимумов, причем пусть < < <.< (рис. 7.12). Пусть далее , , - точки, удовлетворяющие таким условиям: < < < <.; = ,

= и т.д.

Тогда оптимальная стратегия управления запасами будет такой [18; 49]:

при заказывать ;

при ничего не заказывать;

при заказывать и т.д.

Приведем достаточные условия, при которых оптимальная стратегия имеет более простую форму, отвечающую одному минимуму функции [49]:

a) - не является относительным минимумом и

;

в) уравнение имеет не более одного вещественного корня;

c) → ∞ при → ∞.

Поясним физический смысл условий: а) экономическая целесообразность создания положительного запаса; с) неэффективность слишком больших запасов.

Обозначим через решение уравнения (рис. 7.13). Тогда оптимальная стратегия единственная и будет следующей:

при заказывать (делать заказа на поставку) ;

при ничего не заказывать.

ІІ вариант. Допустим, что стоимость пополнения запасов равна при и нулю при . Как видим, в этом случае в сравнении с вариантом І появился дополнительный член (фиксированная плата за заказ). В этом случае заказ целесообразно делать лишь при условии

. (7.3.30)

Если уравнение (7.3.30) имеет единственное решение , то оптимальная стратегия, как видно из рис. 7.14, имеет вид [49]:

при заказывать ;

при ничего не заказывать.

В литературе эта стратегия называется ' стратегией двух уровней ' или (S,s)-стратегией [49].