Рассмотрим некоторые задачи управления запасами при вероятностном спросе. Простейшим случаем управления запасами является однократное принятие решений на пополнение запасов [І8]. Рассмотрим этот вариант.
I вариант. Рассмотрим модель управления запасами при вероятностном спросе и мгновенных поставках. Пусть 
- запас продукта к началу операции; 
- запас после пополнения ( 
), а ( 
) - случайный спрос за время операции 
; 
- плотность распределения спроса; 
- расходы на пополнение запасов.
Предположим, что заказ на пополнение выполняется мгновенно. Если к концу операции на складе остается часть невостребованного запаса 
, то система снабжения несет расходы на сохранение избыточного запаса 
(при 
, 
). Наоборот, при неполном удовлетворении спроса ( 
) система платит штраф за дефицит 
. Тогда математическое ожидание суммарных расходов системы за период равно
. (7.3.28)
Найдем, при каких значениях величина 
будет минимальной. Для этого определим
, (7.3.29)
где 
, 
, 
- обозначены частные производные по соответствующим функциям (в (7.3.29) учтено, что 
, и положим 
).
В общем случае функция 
при фиксированных может иметь несколько минимумов.
Обозначим через 
абсциссу абсолютного минимума , а через 
, 
, 
точки следующих относительных минимумов, причем пусть 
< 
< 
<.< 
(рис. 7.12). Пусть далее 
, 
, 
- точки, удовлетворяющие таким условиям: < < < <.; 
= 
,
= 
и т.д.
Тогда оптимальная стратегия управления запасами будет такой [18; 49]:
при 
заказывать 
;
при 
ничего не заказывать;
при 
заказывать 
и т.д.
Приведем достаточные условия, при которых оптимальная стратегия имеет более простую форму, отвечающую одному минимуму функции [49]:
a) 
- не является относительным минимумом и
;
в) уравнение 
имеет не более одного вещественного корня;
c) → ∞ при → ∞.
Поясним физический смысл условий: а) экономическая целесообразность создания положительного запаса; с) неэффективность слишком больших запасов.
Обозначим через 
решение уравнения (рис. 7.13). Тогда оптимальная стратегия единственная и будет следующей:
при 
заказывать (делать заказа на поставку) 
;
при 
ничего не заказывать.
ІІ вариант. Допустим, что стоимость пополнения запасов равна 
при 
и нулю при 
. Как видим, в этом случае в сравнении с вариантом І появился дополнительный член 
(фиксированная плата за заказ). В этом случае заказ целесообразно делать лишь при условии
. (7.3.30)
Если уравнение (7.3.30) имеет единственное решение 
, то оптимальная стратегия, как видно из рис. 7.14, имеет вид [49]:
при 
заказывать ;
при 
ничего не заказывать.
В литературе эта стратегия называется ' стратегией двух уровней ' или (S,s)-стратегией [49].
