Д) Оцениваем стандартные ошибки оценок параметров модели

Алина Гребенкина, э-309

Вариант 2 (13 октября 2012)

В качестве условия задачи представлены данные о двух факторах Х_i⁽²⁾ и Х_i⁽³⁾, а также о зависимой переменной У_i. В анализе участвует 30 наблюдений:

N	Xi(2)	Xi(3)	Yi
	85,5	-13	28,89711793
	40,5	-71	-307,0420699
	40,5	-30	-20,50835083
		-27	-32,51220636
	67,5	-12	67,92873883
	67,5	-27	-36,83925888
	4,5	-87	-365,0802037
		-49	-214,2252598
	58,5	-29	-38,38206328
		-35	-89,74960806
	76,5	-25	-40,08020104
		-97	-534,0446786
		-64	-304,0461209
		-62	-226,1294095
	31,5	-86	-401,1559593
		-84	-434,7973033
	40,5	-92	-454,9618916
	4,5	-65	-216,2293141
		-87	-385,8604148
	22,5	-52	-146,7915814
	58,5	-59	-249,7164027
		-88	-473,5142786
	22,5	-41	-70,05208563
		-91	-427,0390642
	85,5	-67	-346,4849361
	67,5	-63	-294,7714893
	22,5	-73	-294,7595001
		-97	-438,6091208
		-48	-208,5582177
	49,5	-67	-292,583516

(а) Вычисляем матрицу

Из имеющихся данных формируем матрицу Х - матрицу регрессоров. Каждый столбец матрицы характеризует отдельную переменную (первый столбец матрицы состоит из единиц, поскольку Xi(1)=1), число строк матрицы совпадает с числом наблюдений (30).

Для вычисления матрицы производится несколько шагов: исходная матрица Х (30х3) транспонируется, матрица Хт (3х30) перемножается с матрицей Х, затем от полученного произведения (матрицы 3х3) берется обратная матрица. Все вычисления производятся в Exel с использованием функций ТРАНСП, МОБР, МУМНОЖ и клавиш F2 + Ctrl-Shift-Enter. Результатом является матрица (3х3) следующего вида:

матрица (Хт*Х)(-1)
0,5826	-0,0049	0,0051
-0,0049	0,0001	0,0000
0,0051	0,0000	0,0001

 

Для удобства применен числовой формат чисел с ограничением на четыре знака после запятой.

Б) Оцениваем параметры β1, β2, β3 линейной модели множественной регрессии

Для того, чтобы определить оценки коэффициентов линейной модели множественной регрессии , необходимо воспользоваться формулой:

, где - это вектор, составленный из оценок коэффициентов. Для получения вектора матрица пункта (а) перемножается с транспонированной матрицей Х^т и с вектором У_i. В результате получаем вектор:

вектор МНК - оценок (Хт*Х)^-1*Хт*У
250,0883345
-1,493117693
7,002030678

 

МНК-оценки коэффициентов модели определены. Уравнение множественной регрессии:

 

(в) Вычисляем коэффициент детерминации R²

Коэффициент детерминации в случае модели множественной регрессии находится так же, как и коэффициент детерминации модели парной регрессии:

Воспользуемся определением коэффициента детерминации и рассчитаем RSS, а также TSS. Для расчета этих величин определяем среднее значение У_i (), а также значение

. В результате вычисления, представленных в приложении (файл Exel), получаем следующие величины:

1. RSS = 833885,7

2. TSS = 833985,4

3. R² = RSS/TSS = 0,999880425

(г) - оцениваем ковариационную матрицу оценок параметров

Ковариационная матрица оценок параметров имеет вид:

) , в то время как оценка ковариационной матрицы заключается в исчислении выражения:

, ,

Расчеты выражений обозначены в файле-приложении Exel; результаты расчетов: . Умножим на единичную матрицу In, а затем перемножим матрицу и матрицу . получаем оценку ковариационной матрицы оценок:

 

матрица V^(β^)=(Хт*Х)(-1) * σ2 * In
2,151922	-0,018124108	0,018896402
-0,01812	0,00024075	-0,000102932
0,018896	-0,000102932	0,000231046

 

д) Оцениваем стандартные ошибки оценок параметров модели

Для расчета стандартных ошибок оценок параметров модели множественной регрессии существует формула:

, где - это соответствующий диагональный элемент матрицы . Воспользуемся данной формулой для расчета каждого SE, получим результат:

стандартные ошибки
SE (B1^)	1,466943045
SE (B2^)	0,015516113
SE (B3^)	0,015200213

 

(е) импортируем данные в эконометрический пакет Gretl,

оцениваем те же параметры, что оценивали в пунктах (б)–(д)

Импорт данных из таблицы Exel осуществляется самой программой Gretl. Когда данные импортированы, их можно начинать анализировать. Например, во вкладке "модель" программы можно выбрать "метод наименьших квадратов", разнести зависимую и независимые переменные по группам и получить модель следующего вида: