Алина Гребенкина, э-309
Вариант 2 (13 октября 2012)
В качестве условия задачи представлены данные о двух факторах Хi(2) и Хi(3), а также о зависимой переменной Уi. В анализе участвует 30 наблюдений:
| N | Xi(2) | Xi(3) | Yi |
| 85,5 | -13 | 28,89711793 | |
| 40,5 | -71 | -307,0420699 | |
| 40,5 | -30 | -20,50835083 | |
| -27 | -32,51220636 | ||
| 67,5 | -12 | 67,92873883 | |
| 67,5 | -27 | -36,83925888 | |
| 4,5 | -87 | -365,0802037 | |
| -49 | -214,2252598 | ||
| 58,5 | -29 | -38,38206328 | |
| -35 | -89,74960806 | ||
| 76,5 | -25 | -40,08020104 | |
| -97 | -534,0446786 | ||
| -64 | -304,0461209 | ||
| -62 | -226,1294095 | ||
| 31,5 | -86 | -401,1559593 | |
| -84 | -434,7973033 | ||
| 40,5 | -92 | -454,9618916 | |
| 4,5 | -65 | -216,2293141 | |
| -87 | -385,8604148 | ||
| 22,5 | -52 | -146,7915814 | |
| 58,5 | -59 | -249,7164027 | |
| -88 | -473,5142786 | ||
| 22,5 | -41 | -70,05208563 | |
| -91 | -427,0390642 | ||
| 85,5 | -67 | -346,4849361 | |
| 67,5 | -63 | -294,7714893 | |
| 22,5 | -73 | -294,7595001 | |
| -97 | -438,6091208 | ||
| -48 | -208,5582177 | ||
| 49,5 | -67 | -292,583516 |
(а) Вычисляем матрицу 
Из имеющихся данных формируем матрицу Х - матрицу регрессоров. Каждый столбец матрицы характеризует отдельную переменную (первый столбец матрицы состоит из единиц, поскольку Xi(1)=1), число строк матрицы совпадает с числом наблюдений (30).
Для вычисления матрицы производится несколько шагов: исходная матрица Х (30х3) транспонируется, матрица Хт (3х30) перемножается с матрицей Х, затем от полученного произведения (матрицы 3х3) берется обратная матрица. Все вычисления производятся в Exel с использованием функций ТРАНСП, МОБР, МУМНОЖ и клавиш F2 + Ctrl-Shift-Enter. Результатом является матрица (3х3) следующего вида:
| матрица (Хт*Х)(-1) | ||
| 0,5826 | -0,0049 | 0,0051 |
| -0,0049 | 0,0001 | 0,0000 |
| 0,0051 | 0,0000 | 0,0001 |
Для удобства применен числовой формат чисел с ограничением на четыре знака после запятой.
Б) Оцениваем параметры β1, β2, β3 линейной модели множественной регрессии
Для того, чтобы определить оценки коэффициентов линейной модели множественной регрессии 
, необходимо воспользоваться формулой:
, где 
- это вектор, составленный из оценок коэффициентов. Для получения вектора матрица пункта (а) перемножается с транспонированной матрицей Хт и с вектором Уi. В результате получаем вектор:
| вектор МНК - оценок (Хт*Х)^-1*Хт*У | |
| 250,0883345 | 
|
| -1,493117693 | 
|
| 7,002030678 | 
|
МНК-оценки коэффициентов модели определены. Уравнение множественной регрессии: 
(в) Вычисляем коэффициент детерминации R2
Коэффициент детерминации в случае модели множественной регрессии находится так же, как и коэффициент детерминации модели парной регрессии:
Воспользуемся определением коэффициента детерминации и рассчитаем RSS, а также TSS. Для расчета этих величин определяем среднее значение Уi (
), а также значение
. В результате вычисления, представленных в приложении (файл Exel), получаем следующие величины:
1. RSS = 833885,7
2. TSS = 833985,4
3. R2 = RSS/TSS = 0,999880425
(г) - оцениваем ковариационную матрицу оценок параметров 
Ковариационная матрица оценок параметров имеет вид:
) 
, в то время как оценка ковариационной матрицы заключается в исчислении выражения:
, 
, 
Расчеты выражений обозначены в файле-приложении Exel; результаты расчетов: 
. Умножим 
на единичную матрицу In, а затем перемножим матрицу 
и матрицу 
. получаем оценку ковариационной матрицы оценок:
| матрица V^(β^)=(Хт*Х)(-1) * σ2 * In | ||
| 2,151922 | -0,018124108 | 0,018896402 |
| -0,01812 | 0,00024075 | -0,000102932 |
| 0,018896 | -0,000102932 | 0,000231046 |
д) Оцениваем стандартные ошибки оценок параметров модели
Для расчета стандартных ошибок оценок параметров модели множественной регрессии существует формула:
, где 
- это соответствующий диагональный элемент матрицы 
. Воспользуемся данной формулой для расчета каждого SE, получим результат:
| стандартные ошибки | |
| SE (B1^) | 1,466943045 |
| SE (B2^) | 0,015516113 |
| SE (B3^) | 0,015200213 |
(е) импортируем данные в эконометрический пакет Gretl,
оцениваем те же параметры, что оценивали в пунктах (б)–(д)
Импорт данных из таблицы Exel осуществляется самой программой Gretl. Когда данные импортированы, их можно начинать анализировать. Например, во вкладке "модель" программы можно выбрать "метод наименьших квадратов", разнести зависимую и независимые переменные по группам и получить модель следующего вида:
