Характеристики в плоскости годографа скорости

Определим изменение скорости вдоль характеристик в физической плоскости и плоскости годографа (рис. 5.4). Пусть в физической плоскости для некоторой точки А (рис. 5.4, а) известны значение и направление скорости потока .

Рис. 5.4. Характеристики:

а – в физической плоскости; б – в плоскости годографа

Тогда в плоскости годографа скорости () точке А будет соответствовать точка (рис. 5.4, б). При перемещении вдоль характеристики первого семейства в плоскости XОY концы векторов скорости в плоскости опишут кривую , а для характеристики второго семейства – кривую Характеристики в плоскости располагаются в области, ограниченной двумя окружностями, описанными из начала координат, радиусами и и определяющими границы диапазона сверхзвуковых скоростей.

Чтобы найти уравнение характеристик в плоскости годографа скорости воспользуемся уравнением (5.4), которому должны удовлетворять составляющие скорости сверхзвукового потока газа.

Рассматривая изменение скорости вдоль характеристик y = y (x) запишем очевидные соотношения:

(5.13)

где – тангенс угла наклона касательной к характеристике в плоскости XY. Тогда из соотношений (5.13) имеем следующее:

, . (5.14)

Из условия потенциальности течения следует, что . После подстановки уравнения (5.14) в выражение (5.4) с учетом потенциальности получаем

× . (5.15)

Используя свойство корней квадратного уравнения (теорему Виета) для характеристик в плоскости потока

и ,

можно убедиться, что множитель перед равен

Вдоль характеристик первого семейства в физической плоскости, когда , этот множитель равен , а вдоль характеристик второго семейства, когда , он равен . В общем случае для характеристик обоих семейств этот множитель равен

Таким образом, в уравнении (5.15) выражение в квадратных скобках перепишется в виде . Произведя дальнейшие преобразования уравнения (5.15) с использованием выражений для корней квадратного уравнения, найдем отношение приращений скоростей вдоль характеристик:

Анализ полученного выражения показывает, что для характеристик первого семейства, где , а для второго семейства () – . Таким образом, получаем зависимости для расчета изменения скорости течения газа вдоль характеристик в плоскости потока, которые имеют вид

(5.16)

Зависимости (5.16) показывают, что характеристики в физической плоскости и в плоскости годографа скорости перпендикулярны друг другу. Характеристики первого семейства в плоскости XY перпендикулярны характеристикам второго семейства в плоскости и наоборот. Используя дифференциальное уравнение (5.12) для характеристик в плоскости потока, можно записать следующее:

. (5.17)

Вдоль характеристик в физической плоскости составляющие вектора скорости потока удовлетворяют обыкновенному дифференциальному уравнению в переменных . Поэтому для любых безвихревых течений газа характеристики в плоскости годографа скорости имеют всегда один и тот же вид и могут быть заранее рассчитаны (в физической плоскости XY характеристики для различных задач различны).

Примечание: правая часть уравнения (5.17) не зависит от переменных x, y.

Получим уравнение характеристик в плоскости годографа в интегральном виде. Используя рис. 5.3, можно получить

, ,

или

. (5.18)

Произведем замену и через и . Так как и , то , , и уравнение (5.18) после преобразований запишем следующим образом:

с.. Схема к задаче Коши

Дробь в правой части перед

равна

, поэтому

. Представив скорость звука как

, имеем следующее:

После интегрирования, учитывая, что получим уравнение характеристик в плоскости годографа скорости в конечном виде:

. (5.19)

В этом уравнении число Маха может изменяться в пределах , что соответствует изменению скорости от до .

Кривые, описываемые этим уравнением, называются эпициклоидами. Через каждую точку плоскости проходит одна эпициклоида первого семейства и одна второго семейства. Задавая различные значения постоянной C, можно один раз вычертить сетку характеристик в плоскости годографа скорости и затем использовать ее при решении задач различного плана.

Таким образом, с помощью метода характеристик можно решать любые краевые задачи для сверхзвуковых потенциальных течений газа, если только найдены характеристики в плоскости XY течения газа и установлено их соответствие характеристикам в плоскости годографа . Таким образом, существо решения газодинамических задач методом характеристик состоит в поиске характеристик в плоскости течения газа.