Комплексные числа
1.1 Множество C комплексных чисел
Введем традиционные обозначения: R – множество вещественных чисел, R 
- совокупность всевозможных упорядоченных пар 
вещественных чисел. Произ- вольный элемент множества R обозначим через z: 
, где 
R, 
R.
Два элемента 
и 
множества 
считаем равными, если 
и 
: 
.
Введем две операции, одну их которых назовем сложением элементов из R , а другую – умножением этих элементов. Каждая из них представляет собой правило, в силу которого любой упорядоченной паре 
элементов из R ставится в соот- ветствие некоторый третий элемент этого множества.
Элемент, который паре сопоставляет операция сложения, назовем суммой элементов 
и 
и обозначим через 
.
Элемент, который паре сопоставляет операция умножения, назовем произведением элементов и и обозначим через 
или 
.
Сумму и произведение элементов и определим с помощью следующих равенств:
(1)
Множество всевозможных упорядоченных пар вещественных чисел R , на котором указанным выше способом введены операции сложения и умножения называ- ют множеством комплексных чисел и традиционно обозначают буквой C. Элементы множества C называют комплексными числами.
Нетрудно убедиться, что введенные равенствами (1) операции обладают свойс- твами, аналогичными свойствам сложения и умножения вещественных чисел:
1. (Коммутативность) 
; 
.
2. (Ассоциативность) 
; 
.
3. (Дистрибутивность) 
.
Наименования операций над комплексными числами – сложение и умножение - обьясняются этими аналогиями.
Таким образом, комплексное число 
C, представляет собой упорядоченную пару вещественных чисел: . Первое число x пары 
называют вещест- венной частью комплексного числа z и обозначают через 
, второе число y этой пары называют мнимой частью комплексного числа z и обозначают через 
.
Пусть мнимые части чисел и равны нулю: 
, 
. Тогда из (1) получим:
; 
.
Заметим, что сложение и умножение комплексных чисел и , мнимые части которых равны нулю, сводятся соответственно к сложению и умножению их вещественных частей. Это обстоятельство позволяет отождествить комплексное число вида 
с вещественным числом x, т.е., считать, что 
= x. Особо отметим равенство 
,а также справедливость следующего утверждения: пусть ; равенство 
имеет место тогда и только тогда, когда х= и у= .
Комплексное число , мнимая часть y которого отлична от нуля, назы- вают мнимым. Следовательно, всякое комплексное число является либо вещественным, либо мнимым.
Остановимся на геометрических ин- терпретациях множества C. Как известно, геометрической интерпретацией множества R является плоскость с введенной на ней декартовой прямоугольной системой коор- динат: упорядоченная пара изобража- ется точкой плоскости с абсциссой x и орди- натой y. Эту же точку плоскости считают изображением комплексного числа . Когда точки плоскости рассматривают как изображения комплексных чисел, саму плоскость считают интерпретацией множества С и называют комплексной плоскостью. Изображениями комплексных чисел вида , т.е., вещественных чисел, будут точки оси абсцисс; поэтому ее называют веще- ственной осью комплексной плоскости. Мнимые числа вида 
, 
, изобража- ются точками оси ординат; эту ось называют мнимой осью комплексной плоскости (рис. 1).
Другая возможная геометрическая интерпретация комплексного числа состоит в том, что его изображают вектором, проекции которого на вещественную и мнимую оси есть x и y соответственно. В частности, в качестве изображения числа может выступать радиус-вектор точки с абсциссой x и ординатой y (рис. 1). Такой взгляд на комплексное число удобен в ряде случаев, например, при геометриче- ской интерпретации действий сложения и вычитания комплексных чисел (см. ниже).
1.2. Алгебраическая форма комплексного числа.
Среди комплексных чисел особая роль принадлежит мнимому числу 
. Его называют мнимой единицей и обозначают обычно буквой i: i = . Это название связано с равенством 
. Действительно, вычислив произведение 
в соответ- ствии со вторым из равенств (1) получим:
.
Пусть – некоторое комплексное число. Используя (1), нетрудно убе- диться в справедливости равенства 
. Но 
, 
, 
; поэтому равенство можно переписать так: 
. Правую часть последнего равенства называют алгебраической формой комплексного числа .
Пусть заданы комплексные числа и . Из равенств (1) вытекают правила сложения и умножения комплексных чисел, записанных в алгеб- раической форме: если 
, 
, то
; 
. (2)
Отметим три свойства этих действий. Они дополняют свойства 1 – 3, указанные в п. 1.1 и тоже вполне аналогичны соответствующим свойствам действий над вещест- венными числами.
4. 
, 
.
Запишем числа и z в алгебраической форме: 
, . Из (1) получим: 
. Доказательство второго равен- ства аналогично. 
5. Пусть и – некоторые комплексные числа. Для того, чтобы произве- дение было равно нулю, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из мно- жителей и был равен нулю:
.
Необходимость. Пусть 
. Покажем, что если один из множителей отличен нуля, то другой должен равняться нулю. Пусть, например, 
; покажем, что тогда 
. Действительно, запишем эти числа в алгебраической форме: , . Из (1) имеем: 
и 
. Отсюда сле- дует, что числа 
и 
удовлетворяют однородной системе
где 
, 
. Определитель D этой системы отличен от нуля: так как 
, то 
. Значит, система имеет только нулевое решение: 
; поэтому .
Следовательно, из вытекает, что либо , либо 
.
Достаточность очевидна в силу свойства 4.
6. Пусть и – комплексные числа. Тогда
.
Пусть , . Тогда
Û 
.
Отсюда:
.
Пусть z Î C. Число (–1) z обозначают через – z и называют числом, проти- воположным z. Из свойства 6 следует: сумма числа z и числа противоположного z равна нулю: " z Î C z + (– z) = 0.
Вычитание комплексных чисел вводится как операция, обратная сложению: пусть и – заданные числа; разностью чисел и называют число z такое, что 
; разность чисел и обозначают через 
.
Запишем , и z в алгебраической форме: , , . Имеем:
. Отсюда:
, так что к правилам сложения и умножения (2) можно добавить правило вычитания:
. (3)
Заметим, что равенства (2) и (3) можно получить складывая, перемножая и вычитая двучлены 
и 
по правилам алгебры, известным из школьных учебников; при перемножении этих двучленов используется равенство . Следовательно, складывая, вычитая, умножая, возводя в натуральную степень комп- лексные числа, записанные в алгебраической форме, можно руководствоваться правилами алгебры, изложенными в школьных учебниках, учитывая при этом значения степеней числа i: 
, 
, 
, 
, 
и т. д. В частности, можно применять формулы сокращенного умножения.
Пример 1. Найдём алгебраическую форму числа 
.
Число 
запишем в виде двучлена 
и воспользуемся формулой 
. Получим:
.
Деление комплексных чисел вводится как операция, обратная умножению: пусть и – комплексные числа, причем ; частным чисел и называют число z такое, что 
; обозначают это число символами 
и 
. Запишем числа , и z в алгебраической форме: , 
, ; тогда из следует: 
, 
. Эти два равенства рассмотрим как систему двух линейных относительно x и y уравнений. Определитель D этой системы равен 
; так как 
, то и 
; поэтому система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:
..Таким образом,
. (4) Выполняя деление 
на , обычно прибегают к следующему приему: числитель и знаменатель дроби умножают на двучлен 
(число называют сопряженным числу , см. ниже 1.7):
.
Пример 2. Вычислить 
.
Имеем:
.
В заключение этого пункта оста- новимся на геометрической интерпрета- ции суммы и разности 
. Будем изображать комплексные числа векторами, лежащими на комплексной плоскости. Число изобразит- ся радиусом-вектором точки , число – радиусом-вектором точки . Число 
изобразится вектором, проекции которого на оси равны 
и 
. Из векторной алгебры известно, что такой вектор является суммой векторов и , т.е. диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 2). Разность 
представлена на этом рисунке разностью радиусов-векторов точек и , т.е. второй диагональю параллелограмма.
1.3. Модуль комплексного числа
Модулем комплексного числа 
называют вещественное число 
. Модуль числа z обозначаем через 
; таким образом, 
, где 
, 
. Если z является вещественным числом, т.е., если 
, его модуль совпадает с абсолютной величиной числа x: 
.
Геометрический смысл модуля числа очевиден: 
есть расстояние от начала координат до точки , изображающей число z, или длина вектора, проекции которого на оси есть x и y.
Замечание 1. Разность 
изображается вектором, начало которого есть точка комплексной плоскости, а концом является (рис.2); значит, модуль разно- сти, число | |, есть длина этого вектора, т.е. расстояние между точками комплекс- ной плоскости и .
Отметим рядсвойств модуля. Они аналогичны свойствам абсолютной величины вещественного числа.
1. Для всякого z Î C его модуль есть неотрицательное число, причем 
тогда и только тогда, когда 
.
2. Для всякого z Î C 
, 
.
Справедливость этих утверждений очевидна.
3. Для любых и 
; если , то 
.
Запишем числа и в алгебраической форме: , ; тогда (см. (2)):
;
.
Пусть , и пусть 
; тогда 
. По доказанному выше, 
; отсюда, поскольку здесь все числа вещественные, 
.
4. Для любых комплексных и справедливы неравенства
.
Докажем сначала неравенство 
.
Справедливость его очевидна в случае 
. Пусть 
. Обо- значим: 
. Отсюда 
; таким образом, сумма 
является вещественным и притом положительным числом, в силу чего сумма равна сумме вещественных частей слагаемых 
и 
:
, где 
, 
. Так как 
, можем записать: 
; эдесь зак- лючительное неравенство вытекает из свойств абсолютной величины вещественных чисел. Из свойств 2 и 3 модуля следует:
; 
. Таким образом, 
, и так как (см. свойство 3) 
, то окончательно получим:
.
Докажем неравенство 
.
Это неравенство очевидно, если 
. Пусть 
; тогда
. По доказанному выше 
. Значит,
. Случай 
рассматривается аналогично.
Замечание 2. Неравенство 
назывют неравенством треуголь- ника, поскольку на него можно смотреть как на неравенство, связывающее длины сторон треугольника, вершинами которого являются точки , и 
(рис. 2).
Упражнение. Используя метод математической индукции, доказать обобщение неравенства треугольника: пусть 
, , ¼, 
– заданные комплексные числа; тогда
.
1.4. Аргумент комплексного числа. Тригонометрическая
форма комплексного числа
Аргументом комплексного числа z, 
, называют вещественное число j такое, что
, (5) где 
Если некоторое число j удовлетво- ряет равенствам (5), то им удовлетворит и любое число вида j + 2 k p, k Î Z, причем множество {j + 2 k p}, где k принимает всевозможные целые значения, есть сово- купность всех чисел, удовлетворяющих (5). Таким образом, аргумент числа z имеет бесконечное множество значений, которые отличаются одно от другого слагаемым, кратным 2p. В дальнейшем через 
мы обозначаем какое-либо одно из значений аргумента числа z. Равенство 
означает, что число j есть одно из значений аргумента числа z. Неравенства 
означают, что в данном случае есть то единственное значение аргумента z, которое лежит на промежутке 
; иногда такое число называют главным значением аргумента z.
Геометрически число j, удовлетворяющее условиям (1), есть угол между поло- жительным направлением вещественной оси и вектором z. Если j 
, угол отсчиты- вается от вещественной оси против часовой стрелки, если же j < 0 – угол отсчитыва- ется по часовой стрелке (рис.3).
Пусть – отличное от нуля комплексное число, , 
. Учитывая равенства (5), можем записать:
. Здесь , (
- одно из значений аргумента z, любое).
Выражение 
называют тригонометрической формой числа z.
Пример 3. Найдём тригонометрическую форму числа 
.
Имеем: 
; 
.
Последнее выражение уже является тригонометрической формой z. Найдём . Равенства (5) в рассматриваемом случае выглядят так:
, 
. Отсюда: 
, k Î Z. Взяв в качестве , например, число 
, получим представ- ление числа z в тригонометрической форме, в котором явно фигурирует и модуль, и аргумеит z: 
.
1.5. Умножение и деление комплексных чисел, записанных
в тригонометрической форме
Пусть отличные от нуля комплексные числа и записаны в тригонометри- ческой форме:
. (6)
Найдем тригонометрическую форму произведения . Заметим, что 
; кроме того,
.
Отсюда:
, (7) причем правая часть этого равенства является тригонометрической формой числа 
.
Итак, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргумен- ты складываются (точнее: сложив аргументы сомножителей, мы получим одно из зна- чений 
). Геометрически умножение числа на число сводится к пово- роту вектора на угол 
и к изменению длины этого вектора в 
раз.
Используя (7), с помощью метода математической индукции нетрудно устано- вить справедливость следующего утверждения: пусть , , ¼, , где n ³ 2, – заданные отличные от нуля числа, 
, 
, k = 1, 2, ¼, n; тогда
, (8) где 
, 
, 
, т.е. при перемножении n, n ³2, комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Упражнение. Доказать равенство (8).
Найдем частное , где и заданы равенствами (6). Заметим (см. п.1.3), что 
. Кроме того,
.
Значит,
, (9) причем правая часть этого равенства является тригонометрической формой числа . Таким образом, при делении комплексных чисел их модули делят- ся, а аргументы вычитаются (точнее: вычитая из аргумента числителя аргу- мент знаменателя, мы получим одно из значений аргумента частного).
Пример 4. Пусть 
, 
, 
. Найти и 
.
Запишем заданные числа в тригонометрической форме:
; 
; 
.
Таким образом, 
, 
; 
; 
; 
. Теперь получим:
;
.
1.6. Возведение в целую степень и извлечение корня
Пусть , 
, где r = | z |, , и пусть n – натуральное число. Степень 
представляет собой произведение n множителей: 
; поэтому можно вычислить по формуле (8); в рассматриваемом случае 
, y = = nj; поэтому
. (10)
Определим целые неположительные степени комплексного числа z, z ¹ 0. По определению положим 
; и для всякого n, n Î N, по определению положим 
. Заметим: если r = | z |, , а n Î N, то
.
Таким образом, равенство (10) справедливо при любых целых n. Это равенство называют формулой Муавра; его правая часть представляет собой тригонометрическую форму числа , n Î Z. Заметим, что 
равен 
. Если , то n j есть одно из значений 
.
Пусть заданы комплексное число a и натуральное число n, n ³ 2, и пусть комплексное число z удовлетворяет равенству 
. Тогда z называют корнем степени n из числа a.
Если a = 0, то и z = 0 (см. 1.2, свойство 5). Пусть a ¹ 0. Найдем модуль и аргумент числа z. Обозначим: , 
. Из следует 
, а из фор- мулы Муавра вытекает 
; значит, 
и 
(это “арифметический ” корень: 
). Пусть 
, j = arg z. Тогда {y + 2 k p}, где k Î Z, есть мно- жество всех значений аргумента a; поэтому число n j, будучи одним из значений 
, должно совпадать с одним из чисел указанного множества. Значит, найдется 
, 
, такое, что 
; тогда
. (11)
Пусть k – любое целое число. Обозначим:
Рис. 4.
|
(12) По формуле Муавра получим: " k Î Z 
, так что каждое из чисел (12) является корнем степени n из a. С другой стороны, из (11) следует,что всякое число, явля- ющееся корнем степени n из a, содержится среди чисел 
, k Î Z., Значит, множест- во 
, k Î Z, есть множество всех значений корня степени n из a. Отметим, что в этом мно- жестве имеется всего n попарно различных чисел: 
, , ¼, 
, очевидно, попарно различны, а всякое число 
, где k £ –1 или k ³ n, совпа- дает с одним из чисел , , ¼, . Таким образом, для вся- кого a Î C, a ¹ 0, имеется ровно n попарно различных значений корня степени n; эти значения можно найти, придавая в формуле (12) ин- дексу k значения 0, 1, 2, ¼, n – 1. Точки комплексной плоскости, изображающие чис- ла , , ¼, лежат на окружности радиуса 
с центром в a = 0 и делят её на n равных дуг (рис.4).
Иногда употребляют символ 
для обозначения корня n -й степени из числа a; при a ¹ 0 этот символ имеет n различных значений.
Пример 5. Положим a = 1 и вычислим корни степени n, где n –нату- ральное число, n ³ 2. Для a = 1 имеем: r = | a | = 1; 
; значит,
, где k достаточно придавать значения 0, 1, ¼, n – 1. Положив здесь n = 2 и k = 0, 1, найдем два значения корня квадратного из единицы:
; 
.
Положив n = 3 и k = 0, 1, 2, найдем три значения корня кубического из единицы:
, 
; 
.
Эти три точки делят единичную окружность на три равные дуги.
1 .7. Сопряженные комплексные числа
Пусть 
, , . Обозначим через 
комплексное число такое, что 
, 
. Таким образом, если , то 
, что обычно записывают в виде разности: 
.
Каждое из чисел пары z и называют числом, сопряженным с другим числом этой пары. На комплексной плоскости точки, изображающие числа z и , располагают- ся симметрично относительно вещественной оси.
Справедливы следующие утверждения.
1. 
.
2 
.
3. 
.
4. Пусть ; если , то число – j является одним из значений аргумента .
5. 
.
6. 
.
7. Пусть 
, где 
и 
– комплексные числа; тогда 
.
Упражнение. Доказать перечисленные утверждения.
1.8. Сходящиеся последовательности комплексных чисел
Здесь мы рассматриваем бесконечные последовательности комплексных чисел. Нашей целью является распространение основных понятий и теорем теории последова- тельностей вещественных чисел на более общий случай последовательностей комп- лексных чисел. Последовательность , , ¼, ,.. обозначаем через 
, иногда через 
.
Сформулированное ниже определение вполне аналогично определению предела последовательности вещественных чисел (гл. 1, п. 3.2).
Пусть заданы последовательность , 
, и комплексное число .
Определение 1. Число называют пределом последовательности , если для любого положительного числа e существует натуральное число 
такое, что все члены последовательности , номера k которых превышает , удовлетворяют нера- венству 
.
Если является пределом последовательности , будем записывать: 
или 
; саму последовательность при этом будем называть схо- дящейся последовательностью. Будем также говорить, что последовательность сходится или стремится к . Таким образом, , если
Рис. 5.
|
. (13)
Замечание 1. Обозначим: 
. Тогда 
.
Заменив в (13) 
на 
, получим:
, а это значит, что последовательность вещест- венных чисел 
является бесконечно ма- лой. Следовательно, утверждения и 
эквивалентны.◄
Пусть e – некоторое положительное число, а a – некоторое комплексное число. Множество комплексных чисел z, таких, что 
, назовем e- окрест ностью точки a и обозначим через 
: 
. 
. Геометрически неравенство означает, что расстояние между точками z и a комплексной плоскости меньше e; значит,
