Если А ¹ 0,В¹ 0, С ¹ 0, то прямая (3.20) пересекает обе координатные оси.

Если А =0, В ¹0, С ¹ 0, то прямая параллельна оси О х.

Если А = 0, В ¹ 0, С = 0, то или у = 0 – уравнение оси О х.

Если А ¹ 0, В = 0, С ¹ 0, то прямая или параллельна оси О у.

Если А ¹ 0, В = 0, С = 0, то или х = 0 – уравнение оси О у.

Если А ¹ 0, В ¹ 0, С = 0, то прямая проходит через начало координат.

 

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (; ) и (; )

 

(3.21)

 

 

Запишем это уравнение в виде (3.21.1)

Рис. 3.5

N

j

М2

М1

j

Рассмотрим рис. 3.5, на котором изображено общее расположение прямой, проходящей через две данные точки и , и пересекающей обе оси координат. Угол j между положительным направлением оси О х и прямой, взятый против часовой стрелки, называется углом наклона прямой. Тангенс угла наклона называется угловым коэффициентом прямой. Так как прямая параллельна оси О х, то - прямоугольный и отношение

 

(3.22)

 

Тогда уравнение (3.22) можно записать и так

 

(3.23)

 

Это уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении (определяемом угловым коэффициентом k).

 

Пример 3.5. От продажи 200 шт. товара доход составляет 6000 руб., а от продажи 1000 шт. - 20000 руб. Учитывая линейность функции дохода (от объема продаж), определить доход от продажи 400 шт. товара.

 

Решение. Используя уравнение (3.21.1) и подставляя вместо координат точек (x₁;y₁), (x₂;y₂) координаты М₁ (200; 6000), М₂ (1000; 20000), получим:

 

, получим y = 17,5 х +2500. Подставляя х = 400,

 

определим доход y = 9500 руб.

 

 

Если k величина не фиксированная, а переменная, то уравнение (3.23) называется уравнением пучка прямых, проходящих через данную точку.

Раскрывая скобки, получим

Обозначим величину , то уравнение запишется в виде

 

(3.24)

 

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом.

При х = 0 - это отрезок, отсекаемый прямой на оси ординат, считая от начала координат, число k характеризует направление прямой, если k > 0, то угол наклона острый, а если k < 0, то угол наклона тупой.

Если k ¹ 0, b = 0, то прямая проходит через начало координат.

Если k = 0, b ¹ 0, то уравнение прямой, параллельной оси О х.

В частности, если k = b = 0, то у = 0 – уравнение оси О х.

Уравнение вид есть уравнение прямой, параллельной оси О у. В частности, - уравнение оси О у.

Пусть в общем уравнении прямой все коэффициенты не равны нулю. Запишем в виде и разделим на –С ¹ 0. Получим или . Обозначив , , получим:

 

(3.25)

 

Это уравнение прямой в отрезках. Здесь - отрезки отсекаемые прямой соответственно на осях О х и О у, считая от начала координат.

Например, прямая отсекает на осях отрезки х = -2, у = 5.

 

 

3.6. Длина отрезка и деление отрезка в данном отношении

 

Формула деления отрезка пополам:

если задан отрезок , и координаты точек , известны, то серединой отрезка является точка

 

.

 

Разделить данный отрезок в заданном отношении.

Пусть в R³ дан отрезок прямой (рис. 3.6.), координаты концов которого известны: , . Пусть - делящая точка с переменными координатами и заданное отношение, в котором точка М делит отрезок . Надо найти координаты делящей точки М.

Рис. 3.6

М2

М

М1

Решим задачу в векторном виде. Проведем векторы , соединяющие начало координат О с точками . Рассмотрим векторы и . Они коллинеарны, так как лежат на одной прямой и =l .

Но = , = или . Из равенства этих векторов следует пропорциональность соответствующих координат, то есть

, , .

Из этих трех равенств находим искомые координаты х, у, z делящей точки М:

 

, , (2.26)

 

В частности, если точка М делит отрезок пополам, то , l=1, и координаты середины отрезка находим по формулам

 

, , (3.27)

 

3.7. Угол между двумя прямыми на плоскости

 

Если прямые заданы общими уравнениями и , то угол между ними такой же, как угол между нормальными векторами и прямых и находится по формуле, аналогичной формуле (3.13)

 

(3.28)

 

условие перпендикулярности: и параллельности: .

Угол между прямимы и можно найти по формуле

 

. (3.29)

 

Условие перпендикулярности , условие параллельности .

Если речь идет об угле между двумя прямыми и не указан порядок, в котором они рассматриваются, то можно устанавливать этот порядок произвольно. Очевидно, что изменение порядка повлечет за собой изменение знака тангенса угла.

 

3.8. Площадь треугольника через координаты его вершин

 

Треугольник – одна из самых распространенных фигур и надо уметь вычислять площадь треугольника средствами аналитической геометрии. Пусть даны вершины треугольника А(х₁, у₁), В(х₂, у₂), С(х₃,у₃). Надо найти площадь S треугольника АВС через координаты его вершин. Стороны АВ и АС как векторы, имеют общее начало в точке А и следующие координаты:

, . Зная, что площадь построенной на этих векторах параллелограммы 2 раза больше площади треугольника АВС, найдем площадь параллелограммы как модуль векторного произведения этих векторов:

 

= = .

 

Модуль полученного векторного произведения есть модуль коэффициента при базисном векторе , и удобно записать компактно в виде детерминанта второго порядка: . Это есть площадь параллелограммы.

Формулу для вычисления площади треугольника через координаты его вершин получаем в виде:

 

(3.30)

 

 

Расстояния от данной точки до данной прямой находим по формуле

 

, (3.31)

 

где А, В, С – коэффициенты прямой, - координаты данной точки.

 

Итак, мы познакомились с некоторыми важными понятиями аналитической геометрии. В основе последней лежит метод координат, введенный в науку французским математиком и философом Рене Декартом, а главная ее идея заключается в возможности представлять геометрические объекты в виде алгебраических уравнений и переводить геометрические задачи на язык алгебры.

 

 

Вопросы для самопроверки

Разъяснить понятия, ответить на вопросы, продолжать предложения:

1. Почему раздел называется «аналитическая геометрия»?

2. Вектор, модуль вектора. Тождественные вектора.

3. Умножение вектора на число, сложение и разность векторов. Коллинеарность векторов.

4. Базисные вектора (орты), разложение вектора на компоненты.

5. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.

6. Скалярное произведение двух векторов, свойства скалярного произведения.

7. Как вычислить угол между векторами, заданными в координатах?

8. Что собой представляет линейная комбинация векторов?

9. Векторное произведение векторов, определение и вычисление с помощью координат.

10. Компланарность трех векторов. Необходимое и достаточное условие компланарности.

11. Смешанное произведение трех векторов. Геометрическая интерпретация.

12. Какие разные виды уравнения прямой на плоскости знаете?

13. Что такое угловой коэффициент прямой и как определить угол между двумя прямимы аналитически?

14. Как определить площадь треугольника заданной координатами вершин?

15. Как определить объем пирамиды заданной координатами вершин?

16. Как определить расстояние от точки до прямой аналитическим способом?

 

 

Упражнения и задачи

 

1. Найти длину вектора а=2i+3j-4k и его направляющие косинусы.

2. Даны точки М₁ (2;-1;3), М₂ (1;4;0). Найти длину и направление вектора М₂М₁.

3. Найти вектор а, образующий с осями ОХ, ОY, OZ равные острые углы, если известно, что длина вектора равна 2√3.

4. Даны три вершины параллелограмма ABCD: А (3;-4;7), В (-5;3;-2), С (1;2;-3). Найти координаты четвертой вершины D.

5. Определить угол между векторами а (1;2;3) и в (4;2;-1).

6. Даны точки М₁ (1;0;-1), М₂ (0;0;4), М₃ (2;0;-2) и О (0;0;0). Построить векторы М₁М₂, ОМ₃ и вычислить угол между ними.

7. Даны вершины А (1;2;-4), В (4;2;0), С (-3;2;-1). Найти длины сторон и угли треугольника.

8. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а (-2;1), в (2;1).

9. Определить, при каком значений m векторы а (m;-3;2) и в (1;2; -m) векторы перпендикулярны.

10. От продажи 50 изделий доход составил 500 руб., а от продажи 100 изделий – 2000 руб. Определить ожидаемый доход от продажи 500 изделий при условии, что функция дохода линейна.

11. Найти площадь треугольника с вершинами А (1;2), В (-1;2), С (1;-4).

12. Найти объем пирамиды с вершинами А (-1,2,1), В (0,1,2), С (3,-4,2), D (1,0,0).