Аналогичным образом можно рассматривать декартовы произведения трёх и более множеств. Их подмножества будут называться тернарными и т.п. отношениями.
Изучим понятие бинарного отношения более подробно, так как оно является важным не только для математического анализа, но и для компьютерной математики.
Задавать бинарные соотношения конечных множеств можно, например, с помощью таблиц. Например, пусть 
. Зададим отношение 
свойством: пара 
принадлежит отношению 
тогда и только тогда, когда 
есть делитель 
. Отношение , таким образом, состоит из пар: 
Это бинарное отношение можно задать матрицей, состоящей из 0 и 1. Её строки соответствуют элементам множества 
, столбцы – элементам множества 
. Элемент этой матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда он стоит на пересечении строки и столбца, соответствующих паре 
, для которой 
.
Определение. Элемент 
называется проекцией элемента 
на множество 
. Для произвольного подмножества 
его проекцие й на 
называется множество, состоящее из проекций на всех элементов множества 
.
Определение. Сечением 
множества называется множество 
элементов 
, для которых 
. Множество сечений отношения называется фактормножеством 
по отношению и обозначается 
.
Так как отношения представляют собой множества, к ним можно применить операции, определённые в предыдущем параграфе. Но кроме этих операций есть ещё важные операции композиции и симметризации.
Пусть даны множества 
и отношения 
.
Определение. Композиция отношений 
- это отношение 
между элементами множеств 
и 
такое, что для всех 
сечение множества по 
совпадает с сечением множества 
по подмножеству 
, т.е. 
.
Если даны две пары отношений , 
и 
, причём 
и 
, то операция композиции обладает следующим свойством: 
.
Определение. Отношение, симметричное к некоторому отношению и обозначаемое 
, представляет собой подмножество множества 
, образованное теми парами 
, для которых 
. Если и 
, то 
.
Предположим, что задано некоторое основное множество 
. Отношение 
называется отношением эквивалентности, если оно обладает такими свойствами:
1. Рефлексивностью: всякий элемент 
эквивалентен самому себе. Иными словами, для любого 
пара 
.
2. Симметричностью: для любых двух элементов 
из того, что 
эквивалентен 
следует, что 
эквивалентен 
. Другими словами, если 
, то 
. Это означает, что отношение 
совпадает со своим обратным, .
3. Транзитивностью: если эквивалентен , а 
эквивалентен 
, то эквивалентен 
. Иначе говоря, если и 
, то 
.
Очень часто отношение эквивалентности элементов 
обозначается так: 
.
Важным понятием является понятие класса эквивалентности. Класс эквивалентности элемента 
состоит из всех элементов 
, эквивалентных элементу . Для неэквивалентных элементов их классы эквивалентности не пересекаются. Множество классов эквивалентности называется фактормножеством множества 
по отношению и обозначается 
. Если взять ровно по одному элементу из каждого класса эквивалентности, получим систему представителей.
ОТОБРАЖЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА
Определение. Назовём бинарное отношение функциональным, если для каждого 
сечение 
содержит не более одного элемента.
Определение. Если отношение , симметричное к отношению , также является функциональным, то отношение называется взаимно однозначным.
Определение. Если для каждого сечение содержит ровно один элемент, то функциональное отношение всюду определено.
С функциональным отношением непосредственно связано понятие отображения.
Определение. Отображение, обозначим его 
, сопоставляет каждому элементу, называемому аргументом отображения, для которого сечение - непустое множество, единственный элемент 
подмножества множества 
. Этот элемент называется образом элемента при отображении .
Множество тех элементов , для которых существует , называется областью определения отображения .
Определение. Если отображение определено на всём множестве 
, то говорят, что задано отображение в 
.
Определение. Множество образов элементов при отображении называется образом отображения. Если 
, то образ 
определяется, как множество образов элементов 
.
Определение. Если образ совпадает со всем множеством 
, то говорят, что задано отображение на , или что - сюръективное отображение, или сюръекция. (При этом требование всюду определённости не является обязательным).
Определение. Если 
, то 
обозначает прообраз множества , т.е. множество тех элементов , для которых 
.
Отметим очевидные свойства образа и прообраза:
.
Определение. Если отношение является взаимно однозначным, то отображение, соответствующее , называется обратным к и обозначается 
. Если при этом отношение всюду определено, то называется инъективным отображением, или инъекцией. Если, кроме того, отображение ещё и сюръективно, то оно называется биективным или биекцией.
Отметим, что выше мы использовали обозначение прообраза и в случаях, когда обратное к отображение не существует. Если же обратное отображение существует, то прообраз можно рассматривать, как образ множества 
при отображении .
Наиболее часто встречающимся функциональным отношением является обычная функция 
, определённая на некотором подмножестве 
числовой прямой, значения которой образуют множество 
. Действительно, эту функциональную зависимость можно трактовать, как задание подмножества в множестве 
, в которое входят те пары 
, для которых выполнено равенство . Изображение этого множества пар на плоскости носит название графика функции.
