Определение.Любое подмножество множества называется бинарным отношением.

Аналогичным образом можно рассматривать декартовы произведения трёх и более множеств. Их подмножества будут называться тернарными и т.п. отношениями.

Изучим понятие бинарного отношения более подробно, так как оно является важным не только для математического анализа, но и для компьютерной математики.

Задавать бинарные соотношения конечных множеств можно, например, с помощью таблиц. Например, пусть . Зададим отношение свойством: пара принадлежит отношению тогда и только тогда, когда есть делитель . Отношение , таким образом, состоит из пар:

Это бинарное отношение можно задать матрицей, состоящей из 0 и 1. Её строки соответствуют элементам множества , столбцы – элементам множества . Элемент этой матрицы равен 1 тогда и только тогда, когда он стоит на пересечении строки и столбца, соответствующих паре , для которой .

Определение. Элемент называется проекцией элемента на множество . Для произвольного подмножества его проекцие й на называется множество, состоящее из проекций на всех элементов множества .

Определение. Сечением множества называется множество элементов , для которых . Множество сечений отношения называется фактормножеством по отношению и обозначается .

Так как отношения представляют собой множества, к ним можно применить операции, определённые в предыдущем параграфе. Но кроме этих операций есть ещё важные операции композиции и симметризации.

Пусть даны множества и отношения .

Определение. Композиция отношений - это отношение между элементами множеств и такое, что для всех сечение множества по совпадает с сечением множества по подмножеству , т.е. .

Если даны две пары отношений , и , причём и , то операция композиции обладает следующим свойством: .

Определение. Отношение, симметричное к некоторому отношению и обозначаемое , представляет собой подмножество множества , образованное теми парами , для которых . Если и , то .

Предположим, что задано некоторое основное множество . Отношение называется отношением эквивалентности, если оно обладает такими свойствами:

1. Рефлексивностью: всякий элемент эквивалентен самому себе. Иными словами, для любого пара .

2. Симметричностью: для любых двух элементов из того, что эквивалентен следует, что эквивалентен . Другими словами, если , то . Это означает, что отношение совпадает со своим обратным, .

3. Транзитивностью: если эквивалентен , а эквивалентен , то эквивалентен . Иначе говоря, если и , то .

Очень часто отношение эквивалентности элементов обозначается так: .

Важным понятием является понятие класса эквивалентности. Класс эквивалентности элемента состоит из всех элементов , эквивалентных элементу . Для неэквивалентных элементов их классы эквивалентности не пересекаются. Множество классов эквивалентности называется фактормножеством множества по отношению и обозначается . Если взять ровно по одному элементу из каждого класса эквивалентности, получим систему представителей.

ОТОБРАЖЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА

Определение. Назовём бинарное отношение функциональным, если для каждого сечение содержит не более одного элемента.

Определение. Если отношение , симметричное к отношению , также является функциональным, то отношение называется взаимно однозначным.

Определение. Если для каждого сечение содержит ровно один элемент, то функциональное отношение всюду определено.

С функциональным отношением непосредственно связано понятие отображения.

Определение. Отображение, обозначим его , сопоставляет каждому элементу, называемому аргументом отображения, для которого сечение - непустое множество, единственный элемент подмножества множества . Этот элемент называется образом элемента при отображении .

Множество тех элементов , для которых существует , называется областью определения отображения .

Определение. Если отображение определено на всём множестве , то говорят, что задано отображение в .

Определение. Множество образов элементов при отображении называется образом отображения. Если , то образ определяется, как множество образов элементов .

Определение. Если образ совпадает со всем множеством , то говорят, что задано отображение на , или что - сюръективное отображение, или сюръекция. (При этом требование всюду определённости не является обязательным).

Определение. Если , то обозначает прообраз множества , т.е. множество тех элементов , для которых .

Отметим очевидные свойства образа и прообраза:

.

Определение. Если отношение является взаимно однозначным, то отображение, соответствующее , называется обратным к и обозначается . Если при этом отношение всюду определено, то называется инъективным отображением, или инъекцией. Если, кроме того, отображение ещё и сюръективно, то оно называется биективным или биекцией.

Отметим, что выше мы использовали обозначение прообраза и в случаях, когда обратное к отображение не существует. Если же обратное отображение существует, то прообраз можно рассматривать, как образ множества при отображении .

Наиболее часто встречающимся функциональным отношением является обычная функция , определённая на некотором подмножестве числовой прямой, значения которой образуют множество . Действительно, эту функциональную зависимость можно трактовать, как задание подмножества в множестве , в которое входят те пары , для которых выполнено равенство . Изображение этого множества пар на плоскости носит название графика функции.