Вопросы к экзамену по Математическому анализу
Семестр
1. Понятие множества и подмножества.
2. Операции над множествами. Диаграммы Эйлера-Вена. Декартово произведение двух множеств.
3. Основные законы алгебры множеств.
4. Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя и нижняя грань множества.
5. Числовые промежутки. Окрестность действительного числа (точки).
6. Числовая последовательность и её предел.
7. Понятие функции.
8. Способы задания функции.
9. Некоторые типы функций.
10. Тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс. Определения, графики, свойства.
11. Обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс. Определения, графики, свойства.
12. Логарифмические и показательные функции: определения, графики, свойства.
13. Понятие предела функции. Правило вычисления предела.
14. Односторонние пределы.
15. Бесконечно малая (б.м.) и бесконечно большая (б.б) величины. Виды неопределённостей.
16. Основные теоремы о пределах.
17. Эквивалентные б.м. величины.
18. Раскрытие неопределённостей, связанных с алгебраическими функциями. Раскрытие неопределённостей вида 
и 
.
19. Первый замечательный предел. Цепочка эквивалентностей, как следствие из первого замечательного предела.
20. Второй замечательный предел. Цепочка эквивалентностей, как следствие из второго замечательного предела.
21. Непрерывность функции в точке и на отрезке.
22. Классификация точек разрыва.
23. Задача о скорости, приводящая к понятию производной.
24. Определение производной. Механический смысл производной
25. Геометрический смысл производной
26. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью. Гладкая функция.
27. Производная суммы, разности, произведения и частного функций
28. Производная сложной функции (теорема, примеры).
29. Производные высших порядков.
30. Дифференциал функции, его геометрический смысл
31. Правило Лопиталя
32. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия (возрастание и убывание функции).
33. Точки минимума и максимума. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума функции.
34. Выпуклость графика функции, точки перегиба. Достаточные условия существования точек перегиба.
35. Общая схема исследования функции и построение графика.
36. Понятие неопределённого интеграла.
37. Свойства неопределённого интеграла.
38. Простейшие методы нахождения неопределённого интеграла: непосредственное интегрирование, внесение под знак дифференциала, замена переменной, интегрирование по частям (на примерах).
39. «Неберущиеся» неопределённые интегралы.
40. Задача о вычисление площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию определенного интеграла.
41. Свойства определённого интеграла.
42. Формула Ньютона-Лейбница. Вычисление определённого интеграла.
43. Методы вычисления определённого интеграла: замена переменной, интегрирование по частям (на примерах).
44. Вычисление площади плоской фигуры.
45. Несобственные интегралы первого и второго рода.
46. Понятие дифференциального уравнения: определение, порядок ДУ, виды решения.
47. Геометрическое изображение решения дифференциального уравнения первого порядка.
48. Задача Коши для ДУ 1-го порядка.
ДУ первого порядка с разделяющимися переменными.
