.


:




:

































 

 

 

 


II.

..

1.

, , y = y(x) , ..

 

F(x, ) = 0

 

, .

n- (a,b) y = φ(x), (a,b) n- , , y = φ(x) x (a,b).

.

 

F() = 0, (1)

 

F() x, y, .

(1) ,

= f(x,y) (2)

 

- , .

 

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. (3)

 

P(x,y) Q(x,y) - x y. x, y.

y=y(x) y'= f(x,y), y(xo) = yo ( y |x=xo= yo). , , Mo(xo,yo) XOY.

(2) .

. y'= f(x,y), f(x,y) :

) f(x,y) x y D,

) f(x,y) , D,

(xo d, xo + d), y =(x) , y(xo) = yo.

, Mo(xo,yo) (2).

: y = y(x) (2) xo.

, (2) (, , Mo(xo,yo); , M1(xo,y1), y1≠yo ..).

y' = f(x,y), . , y' = f(x,y), y(xo)=yo, Mo(xo,yo) a) ) .

, , .

y = φ(x,C), C, (2) D xOy, , 1) (2) C; 2) y = y*(x) (2), D, C = C*, y*(x)= φ(x,C*).

(2) , - C ( C = ∞). .

 

Φ(x,y,C) = 0, (4)

 

. (4) (2) D. C , D.

. , , , C, D, . , . . .

y = Ψ(x) (2) , , .. (2), y = Ψ(x) . . (2) , .

M(x,y) (2) , f(x,y). y' = f(x,y). (2) . : , , (2) .

( (2)) . (2) . , , .

(2)

 

F(x,y) = K, (5)

 

K . f(x,y) = 0 (2). ( ). y''. (2),

y'' = f'x + f'yy' = f'x(x,y) + f'y(x,y)f(x,y) (6)

 

(6) y'', .. . ,

 

f'x(x,y) + f'y(x,y)f(x,y)=0

 

(2).

 

2. .

:

(1)

.

y = Co, g(Co) = 0, y = Co (1).

( g(y)), , (1) ( g(y) ≠ 0),

(2).

.

, (3)

a,b,c -, .

, ,

 

φ1(x)ψ1(y)dx + φ2(x)ψ2(y)dy = 0 (5)

 

, x y. ψ1(y)φ2(x) :

 

(6)

 

 

. y =Co, ,

1.

. : . (, ≠ 0), .

, :

,

, .

- .

2.

: .

y = 0 y = -2 (). , :

, , ,

, , C ≠ 0.

y = 0 ,

C = 0,

.

y = -2.

3. .

: .

, . , : , .

y (0)=1 , .

C, ( )

, ,

.

, y >0, .. y (0)=1>0. . , .

4. .

: , . , . : z = -2, .. z + 2 = 0. ,

, , , ≠ 0.

. z = -2 C = 0, .

.

5. .

. , , .

z = 2 πk, k (cos z =1) .

. , , ,

n . , .

6. , : ) ; ) .

: ( ) . , :

:

, =0, :

, , .

) , , =1. .

) , , , =0. .

 

 

:

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

 

 

3.

f (x,y) n x y, . ,

0, 0, 2, k . , f (x,y) , .. .

, .

.

(1)

, ,

, (2)

.

.

, (2) , (1)

.

1:

. . ,

, , , , ,

- .

2.

. .

, .

, :

,

:

3.

. .

,

 

,

.

, . ,

, .

, : .

4.

.

: ,

:

,

,

, .

: , ,

,

,

,

, =0 . x y, :

 

 

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

 

4. .

, .

, (1)

- x, , .

, (1) . (2)

(3)

.

.

, . (3).

(3) . :

. , (.(2))

(4)

(5)

, .

 

y' + a(x)y2 + b(x)y + c(x) = 0 (6)

 

. (.. , ). y = y1(x),

 

y = y1 + z (7)

 

.

. (7) y = y1(x) + 1/z(x), (6)

z' - (2a(x)y1(x) + b(x))z = a(x).

. , , , 1.

1.

: . x, : . .

. (4).

, : ,

.. . ,

2.

. . .

,

v , ,

(.(4))

,

.

u = 0 y = 0 ( , , . ). , ,

,

, ,

: y = 0

3.

 

y' + ay(y-x) = 1.

 

. y' axy + ay2 =1. . , y = x . y = x + z :

z' + a(x + z)z = 0, z' + axz = -az2.

 

z = uv,

 

u'v + uv' + axuv = -au2v2

 

v(x)

v'+ axv = 0,

 

,

 

,

u(x)

 

 

 

 

:

 

y = x.

. , x y.

 

 

4.

 

.

. , x y. ( = 1/ ):

,

 

.

x = u(y)v(y), :

 

.

 

, (. (4))

 

.

 

 

,

.

, ,

 

 

.

, :

 

 

5. :

:

(1*)

.

.

(1*),

(2*)

, (.(4))

(2*), , ;

, (1*)

: , ,

= 0. ,

 

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. . :

 

. .

 

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31. .

32.

- .

33. .

 

5.

 

(1)

, , ..

, (1) , , (2)

, (1), (1)

, (3)

- .

u(x,y),

(4)

x, u(x,y)

, (5)

- M(x,y).

(5) y (4),

1.

:

,

,

, , .. .

:

, .

:

y:

+ ,

.. .

, (3) xo=yo=0. ,

. (3) ,

Mo(xo,yo) M(x,y) M(x,y) N(x,y) , , Mo(xo,yo) . (3) , OX OY, Mo(xo,yo), M(x,yo) M(x,yo), M(x,y).

2.

:

,

.. . . :

. , ,

,

, .

3.

:

, .

:

, - .

4.

: , .. (2) , , . . :

, ,
,

 

,

.

 

 

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

.

 

6. ,

, ,

(1)

, .. , :

(2)

(1) (2) . (1)



<== | ==>
, | , , ! , !
:


: 2017-01-21; !; : 407 |


:

:

, , .
==> ...

1098 - | 861 -


© 2015-2024 lektsii.org - -

: 0.426 .