..
1.
, , y = y(x) , ..
F(x, ) = 0
, .
n- (a,b) y = φ(x), (a,b) n- , , y = φ(x) x (a,b).
.
F() = 0, (1)
F() x, y, .
(1) ,
= f(x,y) (2)
- , .
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0. (3)
P(x,y) Q(x,y) - x y. x, y.
y=y(x) y'= f(x,y), y(xo) = yo ( y |x=xo= yo). , , Mo(xo,yo) XOY.
(2) .
. y'= f(x,y), f(x,y) :
) f(x,y) x y D,
) f(x,y) , D,
(xo d, xo + d), y =(x) , y(xo) = yo.
, Mo(xo,yo) (2).
: y = y(x) (2) xo.
, (2) (, , Mo(xo,yo); , M1(xo,y1), y1≠yo ..).
y' = f(x,y), . , y' = f(x,y), y(xo)=yo, Mo(xo,yo) a) ) .
|
|
, , .
y = φ(x,C), C, (2) D xOy, , 1) (2) C; 2) y = y*(x) (2), D, C = C*, y*(x)= φ(x,C*).
(2) , - C ( C = ∞). .
Φ(x,y,C) = 0, (4)
. (4) (2) D. C , D.
. , , , C, D, . , . . .
y = Ψ(x) (2) , , .. (2), y = Ψ(x) . . (2) , .
M(x,y) (2) , f(x,y). y' = f(x,y). (2) . : , , (2) .
( (2)) . (2) . , , .
(2)
F(x,y) = K, (5)
|
|
K . f(x,y) = 0 (2). ( ). y''. (2),
y'' = f'x + f'yy' = f'x(x,y) + f'y(x,y)f(x,y) (6)
(6) y'', .. . ,
f'x(x,y) + f'y(x,y)f(x,y)=0
(2).
2. .
:
(1)
.
y = Co, g(Co) = 0, y = Co (1).
( g(y)), , (1) ( g(y) ≠ 0),
(2).
.
, (3)
a,b,c -, .
, ,
φ1(x)ψ1(y)dx + φ2(x)ψ2(y)dy = 0 (5)
, x y. ψ1(y)φ2(x) :
(6)
. y =Co, ,
1.
. : . (, ≠ 0), .
, :
,
, .
- .
2.
: .
y = 0 y = -2 (). , :
, , ,
, , C ≠ 0.
y = 0 ,
C = 0,
.
y = -2.
3. .
: .
, . , : , .
y (0)=1 , .
C, ( )
, ,
.
, y >0, .. y (0)=1>0. . , .
4. .
: , . , . : z = -2, .. z + 2 = 0. ,
, , , ≠ 0.
. z = -2 C = 0, .
.
5. .
. , , .
z = 2 πk, k (cos z =1) .
. , , ,
n . , .
6. , : ) ; ) .
: ( ) . , :
:
|
|
, =0, :
, , .
) , , =1. .
) , , , =0. .
:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
3.
f (x,y) n x y, . ,
0, 0, 2, k . , f (x,y) , .. .
, .
.
(1)
, ,
, (2)
.
.
, (2) , (1)
.
1:
. . ,
, , , , ,
- .
2.
. .
, .
, :
,
:
3.
. .
,
,
.
, . ,
, .
, : .
4.
.
: ,
:
,
,
, .
: , ,
,
,
,
, =0 . x y, :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
4. .
, .
, (1)
- x, , .
, (1) . (2)
(3)
.
.
, . (3).
(3) . :
. , (.(2))
(4)
(5)
, .
|
|
y' + a(x)y2 + b(x)y + c(x) = 0 (6)
. (.. , ). y = y1(x),
y = y1 + z (7)
.
. (7) y = y1(x) + 1/z(x), (6)
z' - (2a(x)y1(x) + b(x))z = a(x).
. , , , 1.
1.
: . x, : . .
. (4).
, : ,
.. . ,
2.
. . .
,
v , ,
(.(4))
,
.
u = 0 y = 0 ( , , . ). , ,
,
, ,
: y = 0
3.
y' + ay(y-x) = 1.
. y' axy + ay2 =1. . , y = x . y = x + z :
z' + a(x + z)z = 0, z' + axz = -az2.
z = uv,
u'v + uv' + axuv = -au2v2
v(x)
v'+ axv = 0,
,
,
u(x)
:
y = x.
. , x y.
4.
.
. , x y. ( = 1/ ):
,
.
x = u(y)v(y), :
.
, (. (4))
.
,
.
, ,
.
, :
5. :
:
(1*)
.
.
(1*),
(2*)
, (.(4))
(2*), , ;
, (1*)
: , ,
= 0. ,
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. . :
. .
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31. .
32.
- .
33. .
5.
(1)
, , ..
, (1) , , (2)
, (1), (1)
, (3)
- .
u(x,y),
(4)
x, u(x,y)
, (5)
- M(x,y).
|
|
(5) y (4),
1.
:
,
,
, , .. .
:
, .
:
y:
+ ,
.. .
, (3) xo=yo=0. ,
. (3) ,
Mo(xo,yo) M(x,y) M(x,y) N(x,y) , , Mo(xo,yo) . (3) , OX OY, Mo(xo,yo), M(x,yo) M(x,yo), M(x,y).
2.
:
,
.. . . :
. , ,
,
, .
3.
:
, .
:
, - .
4.
: , .. (2) , , . . :
, ,
,
,
.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
.
6. ,
, ,
(1)
, .. , :
(2)
(1) (2) . (1)