ЗАНЯТИЕ 2. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Систематизация и закрепление знаний.

☺ ☻ ☺

Замечание: При выполнении Задания необходимо руководствоваться основными понятиями, представленными в начале Занятия 1.

••• ≡ •••

Пример 1 – 3: Показать, что при любом действительном значении параметра заданная функция является решением ДУ: . (1)

Решение:

1). Разделим уравнение (1) на : . (2)

2). При нахождении производной заданной функции учтем, что функция в нашем примере задана неявно. Дифференцируем заданную функцию по x; учитывая :

= [учтём, что ] = . (3)

Применяя тождественные преобразования (3), получим: . (4)

3). Подставив в уравнение (2) левую часть равенства (4), получаем очевидное тождество:

4). Это значит, что заданная (неявная) функция является решением уравнения (1).

Ответ: заданная функция является решением заданного уравнения.

Пример 2 – 6: В заданном семействе выделить уравнение кривой, удовлетворяющей приведенному начальному условию: = –1.

Решение:

1). Выделить из семейства кривых кривую, которая проходит через точку – это значит вычислить значение , при условии, что =0, = –1.

2). Подставим =0, = –1 в выражение семейства: , откуда = –3.

3). Тогда уравнение кривой семейства, проходящей через точку (0,1): .

3). Запишем выражение кривой семейства, проходящей через точку : .

Ответ: уравнение кривой: .

Пример 3 – 17: Методом изоклин построить приближенно семейство интегральных кривых для дифференциального уравнения: .

Решение:

1). Уравнение изоклин для заданного дифференциального уравнения получается из исходного уравнения приравниванием = . У нас каждая изоклина – прямая: = . На рисунке изоклины выделены «серым» цветом: прямые, параллельные оси ОХ. На каждой изоклине черточка («красная») отражает конкретное значение , определяющее изоклину, то есть: на каждой изоклине наклон черточки один и тот же.

2). Черточки играют роль «железных опилок» в опытах по физике: они показывают направление «поля». Возникает «зрительный образ», который определяет «присутствие некоторой кривой», касательные к которой мы и видим. Это и есть приближенно выделяемая «интегральная кривая» (одна из них выделена «синим» цветом), то есть «решение» заданного ДУ.

Ответ: интегральная кривая представлена на рисунке.

Пример 4 – 23: Решить дифференциальное уравнение: .

Решение:

1). Умножив исходное уравнение на дифференциал , можем записать: . Нетрудно заметить, что это уравнение с разделяющимися переменными.

2). Отметим, что из исходной записи уравнения ни одного решения не следует.

3). Интегрируем уравнение: = . Используя табличные интегралы, нетрудно записать общее решение в виде: = x – +C, или в виде: .

Ответ: – общее решение ДУ.

Пример 5 – 25: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет очевидное решение =0.

2). Умножим исходное уравнение (1) на дифференциал . Уравнение (1) перепишем в дифференциальной форме: . (2)

3). Нетрудно заметить, что уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными. Так как решение уже учтено, теперь примем, что и перепишем уравнение (2):

=2 . (3)

4). Интегрируем (3): =2 или → . – общее решение дифференциального уравнения.

Ответ: общее решение ДУ ; хотя при получении общего решения произвольная постоянная величина не должна принимать значение 0, формально из него можно получить решение исходного уравнения при значении .

Пример 6 – 30: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) не предлагает простейших решений вида: и .

2). Запишем уравнение (1) в виде: 2 +2 =0. Умножение на число 2 учитывает, что !

3). В результате интегрирования получим: – общее решение ДУ.

Ответ: общее решение ДУ: .

Пример 7 – 38: Решить дифференциальное уравнение: = . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) не предлагает простейших решений вида: и . Также легко заметить, что уравнение (1) равносильно уравнению:

= . (2)

2). Примем и вычислим производную , то есть . В нашем случае получаем , что есть уравнение с разделяющимися переменными!

3). Уравнение имеет решение в виде функции: . Учитывая обозначение , запишем решение – прямая линия.

Замечание: Увидеть решение непосредственно из исходного уравнения было бы совсем непросто!

4). Пусть теперь . Запишем уравнение в виде: , или (для удобства!) в виде: . (3)

5). Интегрирование уравнения (3) не составит труда, даже на начальном этапе освоения неопределённого интеграла → . (4)

Ответ: общее решение ДУ ; в данном случае решение можно получить формально из общего при значении =0; запишем общее решение и в виде , из которого решение получается из общего при значении =0.