ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ДифференциальныМ уравненияМ
Литература
- Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях.
- Боярчук А.К., Головач Г.П. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Справочное пособие по высшей математике. Т. 5.
- Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями.
- Пантелеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах.
- Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т. 2.
- Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений.
- Пушкарь Е.А. Дифференциальные уравнения в задачах и примерах.
- Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи.
Можете использовать и другие источники: Очерки по ДУ и т.д.
Далее ссылки на рекомендуемые источники даны в виде:
номер в списке литературы: номера страниц».
Обратите внимание на вопросы 19-36! В основном это вопросы для самостоятельного изучения по прикладным темам!
1. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной, и уравнения в симметрической форме. Формулировка и геометрическая интерпретация теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Примеры (в т.ч. пример уравнения, не удовлетворяющего условию существования и единственности).
2. Уравнения с разделяющимися переменными в нормальной и в симметрической формах. Примеры.
3. Сведение к уравнению с разделяющимися переменными при помощи линейной подстановки (2 случая!). Примеры.
4. Однородные дифференциальные уравнения в нормальной и в симметрической формах (5: с. 25-26). Примеры.
5. Дифференциальные уравнения первого порядка, сводящиеся к однородным. Примеры.
6. Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Примеры.
7. Линейное неоднородное уравнение первого порядка. Метод вариации постоянной (метод Лагранжа) (8: с. 60). Примеры. Выражение общего решения ЛНДУ первого порядка через два частных решения (2: № 115, с. 49).
8. Уравнения в полных дифференциала (4: с. 47-48; 5: с. 35-37). Примеры.
9. Уравнения, допускающие понижение порядка (7: с. 60-63). Примеры (5: с. 14-15, с. 59-60 (форма нити)).
10. Дифференциальные уравнения порядка n. Теорема существования и единственности решения задачи Коши, геометрическая и механическая интерпретации теоремы (1: с. 91-92). Примеры.
11. Линейные уравнения порядка n. Общие свойства решений. Пространство решений линейных однородных уравнений. Примеры.
12. Линейно зависимые и линейно независимые решения однородных уравнений. Примеры.
13. Структура общего решения для линейного однородного уравнения. Фундаментальная система решений для линейного однородного уравнения порядка n (смысл, существование, количество). Примеры.
14. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения порядка n. Примеры.
15. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) построения решений для линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. Примеры.
16. Решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае действительных характеристических корней. Примеры.
17. Решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в случае комплексных характеристических корней (5: с. 75-76). Примеры.
18. Понижение порядка линейного однородного дифференциального уравнения с известным частным решением (5: с. 73-74). Примеры.
19. Качественное построение семейства интегральных кривых дифференциального уравнения первого порядка методом изоклин. Примеры. (3: с. 9-14; 4: с. 20-21; 5: с. 20-21; 7: с. 10-17; 8: с. 26-28)
20. Приближенное построение решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка методом последовательных приближений. Примеры. (3: с. 15-18; 4: с. 313-320; 5: с. 302-304; 6: с. 11-12)
21. Понятие о численных методах интегрирования дифференциального уравнения первого порядка (методы Эйлера, Рунге-Кутта и др.) (4: с.339-351+с. 359-361; 5: с. 127-136).
22. Процессы с насыщением, логистические кривые (сигмоиды). Модель Ферхюльста (4: с.38-39; 6: с. 134-136, 153-156), модель эффективности рекламы (1: с. 20-21; 4: с. 40).
23. Модели в виде линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка (радиоактивный распад, количество света, атмосферное давление, форма каната моста, закон Мальтуса). (2: № 44-46 (с.21), № 114 (с. 48), № 47 (с. 23), № 55 (с. 27); 6: 32-33, с. 35-37; 8: с. 5-6, с. 36)
24. Интегрирующий множитель для дифференциального уравнения первого порядка (понятие, способы построения, примеры). (2: с. 53-57; 3: с. 42-44; 5: с. 38-39; 4: с. 50-65, с. 138-143; 6: с. 179-180; 8: с. 75, с. 80-83)
25. Задача о форме зеркала (2: № 83, с. 38;6: с.170-171, с. 180-181; 7: с. 37-40, задача 6.2; 8: с. 79-80).
26. Модели реактивного движения (формула Циолковского, движение ракеты вверх и т.п.). (2: № 59, с. 29; 4: 37-38; 6: с. 26-30, с. 71-73)
27. Модели истечения жидкости из сосуда (2: с. 24-26; 6: с. 103-107; 7: с. 33-34; 8: с. 45-46).
28. Модели химических реакций (6: с. 122-133).
29. Кривая погони (6: с. 83-86).
30. Модели остывания (1: с. 13-14; 2: № 40-42 (с.19); 6: с. 43-45).
31. Уравнение Бернулли. Примеры (2: № 112, с. 47). Модель Солоу для односекторной экономики.
32. Модель зависимости тока в электрической цепи от времени (3: 34-35; 8: с. 65-66).
33. Законы одномерного равноускоренного механического движения тела в вязкой среде (6: с.73-75; 8: с. 10, с. 36-39; (равноускоренное движение). закон движения (2: № 43 (с. 21), № 48-49 (с. 23)).
34. Дифференциальные уравнения Эйлера (линейные уравнения с переменными коэффициентами, зависящими от степенных функций). Примеры. (3: с. 103-105; 7: с. 92-97)
35. Примеры колебательных систем. Свободные колебания. (4: с. 5-6; 5: с. 94-99; 6: с. 292-295; 8: с. 194-198)
36. Вынужденные колебания. Резонанс. (6. С. 295-296; 5: с. 99-103)
