Уравнения высших порядков
Это уравнения вида
, (5)
здесь 
, 
– постоянные; 
– непрерывные функции от х.
Теорема1. Общее решение неоднородного уравнения (5) представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения 
и общего решения 
соответствующего однородного уравнения 
, т.е. 
,.
Частное решение можно находить методом подбора по правой части или методом вариации произвольных постоянных.
1. Пусть уравнения (5) имеет вид 
, тогда
а) если нуль не является корнем характеристического уравнения, то 
, где 
– многочлен с неопределенными коэффициентами;
б) если нуль – корень характеристического уравнения кратности 
, то частное решение ищем в виде 
, где – многочлен с неопределенными коэффициентами.
2. Пусть в правой части дифференциального уравнения стоит функция 
, где 
– многочлен от 
; тогда надо различать два случая:
а) если 
не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде 
, где 
– многочлен той же степени, что и 
, но с неопределенными коэффициентами;
б) если есть корень кратности 
характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде 
, где – многочлен той же степени, что и .
3. Пусть правая часть уравнения имеет вид 
, где и 
– многочлены. Тогда вид частного решения определяется следующим образом:
а) если число 
не есть корень характеристического уравнения, то частное решение имеет вид 
, где 
и 
– многочлены с неопределенными коэффициентами, 
;
б) если число есть корень характеристического уравнения кратности , то 
.
4. Пусть 
, где и – многочлены от х. Тогда:
а) если число 
не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде 
, где и – многочлены с неопределенными коэффициентами, где ;
б) если число является корнем кратности характеристического многочлена, то частное решение ищем в виде 
, где и имеют тот же смысл, что и в случае а).
Таким образом, методом подбора решаются дифференциальные уравнения (1.7), имеющие правую часть вида 
, где 
и 
– многочлены степеней 
и 
; и 
– числа.
Вид частного решения повторяет вид правой части 
, где – кратность, с которой 
( и взяты из правой части) встречается среди корней характеристического уравнения; 
и 
– многочлены с неопределенными пока коэффициентами, где 
.
Пример 8. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) 
.
Запишем общее решение 
соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) 
: 
.
Правая часть ЛНДУ – многочлен первой степени, число нуль не является корнем характеристического уравнения 
. Значит, частное решение будем искать в виде 
.
Подставим , 
, 
в дифференциальное уравнение: 
. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим 
Решая эту систему, найдем 
, 
.
Тогда 
.
Общее решение 
будет иметь вид 
.
Пример 9. Найти общее решение ЛНДУ 
.
Запишем общее решение соответствующего ЛОДУ: 
.
Правая часть ЛНДУ имеет вид 
, причем число 
является корнем характеристического уравнения 
кратности 2.
Значит, частное решение ЛНДУ будем искать в форме 
, т.е. 
. Производные 
, 
подставим в ЛНДУ и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим 
, т.е. 
.
Общее решение будет иметь вид 
.
Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения 
, 
, 
.
Решение. Решим соответствующее однородное уравнение: 
. Характеристическое уравнение 
, 
, 
. Решение однородного уравнения 
. Вид частного решения 
(метод подбора по правой части). Определим коэффициент 
:
, 
.
Подставляя в данное уравнение 
и , получим:
, 
.
Общее решение дифференциального уравнения: 
.
Определим константы 
и 
, т.е. решим задачу Коши:
, 
, 
.
Ответ: 
.
Пример 11. Найти общее решение ЛНДУ 
.
Характеристическое уравнение 
соответствующего ЛОДУ имеет корни 
, следовательно, общее решение ЛОДУ есть 
.
Правая часть ЛНДУ имеет вид 
, т.е. число 
не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение ЛНДУ ищем в виде 
или 
, где и 
определяются после подстановки , 
, 
в исходное ЛНДУ:
.
Приравнивая коэффициенты при 
и 
в обоих частях, получим 
, 
, откуда 
, 
.
Общее решение 
.
Пример 12. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
Характеристическое уравнение 
имеет четыре корня: 
, 
, 
, 
, следовательно, общее решение соответствующего ЛОДУ 
.
Правая часть 
представляет собой 
. Так как нуль не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ЛНДУ повторяет вид правой части и ищется в виде 
.
Дифференцируя четыре раза и подставляя полученные выражения в дифференциальное уравнение, получим 
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях будем иметь 
. Таким образом, общее решение ЛНДУ примет вид
.