Линейные неоднородные дифференциальные (ЛНДУ)

Уравнения высших порядков

Это уравнения вида

, (5)

здесь , – постоянные; – непрерывные функции от х.

Теорема1. Общее решение неоднородного уравнения (5) представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения , т.е. ,.

Частное решение можно находить методом подбора по правой части или методом вариации произвольных постоянных.

1. Пусть уравнения (5) имеет вид , тогда

а) если нуль не является корнем характеристического уравнения, то , где – многочлен с неопределенными коэффициентами;

б) если нуль – корень характеристического уравнения кратности , то частное решение ищем в виде , где – многочлен с неопределенными коэффициентами.

2. Пусть в правой части дифференциального уравнения стоит функция , где – многочлен от ; тогда надо различать два случая:

а) если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение следует искать в виде , где – многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами;

б) если есть корень кратности характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде , где – многочлен той же степени, что и .

3. Пусть правая часть уравнения имеет вид , где и – многочлены. Тогда вид частного решения определяется следующим образом:

а) если число не есть корень характеристического уравнения, то частное решение имеет вид , где и – многочлены с неопределенными коэффициентами, ;

б) если число есть корень характеристического уравнения кратности , то .

4. Пусть , где и – многочлены от х. Тогда:

а) если число не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде , где и – многочлены с неопределенными коэффициентами, где ;

б) если число является корнем кратности характеристического многочлена, то частное решение ищем в виде , где и имеют тот же смысл, что и в случае а).

Таким образом, методом подбора решаются дифференциальные уравнения (1.7), имеющие правую часть вида , где и – многочлены степеней и ; и – числа.

Вид частного решения повторяет вид правой части , где – кратность, с которой ( и взяты из правой части) встречается среди корней характеристического уравнения; и – многочлены с неопределенными пока коэффициентами, где .

Пример 8. Найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛНДУ) .

Запишем общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) : .

Правая часть ЛНДУ – многочлен первой степени, число нуль не является корнем характеристического уравнения . Значит, частное решение будем искать в виде .

Подставим , , в дифференциальное уравнение: . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим Решая эту систему, найдем , .

Тогда .

Общее решение будет иметь вид .

Пример 9. Найти общее решение ЛНДУ .

Запишем общее решение соответствующего ЛОДУ: .

Правая часть ЛНДУ имеет вид , причем число является корнем характеристического уравнения кратности 2.

Значит, частное решение ЛНДУ будем искать в форме , т.е. . Производные , подставим в ЛНДУ и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим , т.е. .

Общее решение будет иметь вид .

Пример 10. Найти частное решение дифференциального уравнения , , .

Решение. Решим соответствующее однородное уравнение: . Характеристическое уравнение , , . Решение однородного уравнения . Вид частного решения (метод подбора по правой части). Определим коэффициент :

, .

Подставляя в данное уравнение и , получим:

, .

Общее решение дифференциального уравнения: .

Определим константы и , т.е. решим задачу Коши:

, , .

Ответ: .

Пример 11. Найти общее решение ЛНДУ .

Характеристическое уравнение соответствующего ЛОДУ имеет корни , следовательно, общее решение ЛОДУ есть .

Правая часть ЛНДУ имеет вид , т.е. число не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение ЛНДУ ищем в виде или , где и определяются после подстановки , , в исходное ЛНДУ:

.

Приравнивая коэффициенты при и в обоих частях, получим , , откуда , .

Общее решение .

Пример 12. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Характеристическое уравнение имеет четыре корня: , , , , следовательно, общее решение соответствующего ЛОДУ .

Правая часть представляет собой . Так как нуль не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ЛНДУ повторяет вид правой части и ищется в виде .

Дифференцируя четыре раза и подставляя полученные выражения в дифференциальное уравнение, получим .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях будем иметь . Таким образом, общее решение ЛНДУ примет вид

.