Алгоритм поиска общего решения ЛОДУ

Дифференциальные уравнения

 

Типы дифференциальных уравнений

 

Порядок ДУ – порядок старшей производной или старшего дифференциала. – ДУ порядка 1.

Решение – функция, обращающая ДУ в верное равенство. Проверка решения производится подстановкой.

Общее решение – совокупность всех решений, общий вид любого решения.

Задача Коши – найти решение с заданным начальным значением.

 

Дифференциальные уравнения первого порядка

 

ДУ с разделяющимися переменными (УРП) имеет вид или .

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

В уравнении , , значит, это УРП. Запишем в виде . Разделяем переменные . Проинтегрируем или . Получим общее решение .

Пример. Найти решение ДУ , удовлетворяющее начальному условию .

Данное уравнение по виду УРП: . Разделяем переменные . Проинтегрируем или (). Выразим , получим общее решение .

Найдем частное решение. Подставим и в ДУ и вычислим : или . Итак, .

Линейное неоднородным ДУ (ЛНДУ) первого порядка .

Линейное однородное ДУ (ЛОДУ) первого порядка .

Построение общего решения линейного ДУ

1) Найти общее решение ЛОДУ.

2) Общее решение ЛНДУ ищем в похожем виде .

3) Из уравнения находим , подставляем в вид решения.

Пример. Найти общее решение для .

Данное уравнение по виду ЛНДУ: , .

Соответствующее ЛОДУ . Его общее решение .

Общее решение ЛНДУ будем искать в виде . Находим из уравнения : . Подставим в , получим – общее решение.

Дифференциальные уравнения высших порядков

Понижение порядка – основной метод решения уравнений высших порядков.

Уравнения вида y⁽ⁿ⁾ = f(x) –

Пример. Решить с начальными условиями x₀ = 0; y₀ = 1;

Общее решение

Подставим начальные условия:

Получаем частное решение (решение задачи Коши): .

Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k-1: Для понижения порядка на k единиц производят замену переменной:

Тогда получаем:

Пример. Найти общее решение уравнения .

Подстановка получим

Обратная замена:

Общее решение:

Уравнения, не содержащие явно независимой переменной:

Порядок понижается на единицу заменой

Тогда и т.д.

Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем:

Пример. Понизить порядок уравнения

Замена: получаем

итак, получили ДУ порядка 1.

Пример. Решить уравнение

Подстановка Тогда

Окончательно получаем общее решение:

 

Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка

ЛНДУ , ЛОДУ

Задача Коши – найти решение ДУ, удовлетворяющее начальным условиям , .

Алгоритм поиска общего решения ЛОДУ

1) Найти корни характеристического уравнения – (производная заменяется степенью того же порядка).

2) Проверить частные случаи и найти фундаментальную систему решений (ФСР):

– если , то характеристическое уравнение имеет два вещественных различных корня и , ФСР , ;

– если , то характеристическое уравнение имеет один вещественный корень кратности 2, ФСР , ;

– если , то характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня и , ФСР , .

4) Общее решение ЛОДУ , где и –произвольные постоянные.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

1) Его характеристическое уравнение имеет вид .

2) Так как , то корни уравнения комплексно-сопряженные .

3) ФСР , . 4) Общее решение: .

Пример. Найти решение ДУ , удовлетворяющее начальным условиям , .

1) Его характеристическое уравнение имеет вид .

2) Так как , то уравнение имеет два различных вещественных корня , .

3) ФСР , . 4) Общее решение: .

5) Найдем постоянные по начальным условиям , . Вычислим: . Подставим в общее решение и его производную , : или

Решив, получаем , . Тогда искомое частное решение примет вид .