Дифференциальные уравнения
Типы дифференциальных уравнений
Порядок ДУ – порядок старшей производной или старшего дифференциала. 
– ДУ порядка 1.
Решение – функция, обращающая ДУ в верное равенство. Проверка решения производится подстановкой.
Общее решение – совокупность всех решений, общий вид любого решения.
Задача Коши – найти решение с заданным начальным значением.
Дифференциальные уравнения первого порядка
ДУ с разделяющимися переменными (УРП) имеет вид 
или 
.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
В уравнении 
, 
, значит, это УРП. Запишем в виде 
. Разделяем переменные 
. Проинтегрируем 
или 
. Получим общее решение 
.
Пример. Найти решение ДУ 
, удовлетворяющее начальному условию 
.
Данное уравнение по виду УРП: 
. Разделяем переменные 
. Проинтегрируем 
или 
(
). Выразим 
, получим общее решение 
.
Найдем частное решение. Подставим 
и 
в ДУ и вычислим 
: 
или 
. Итак, 
.
Линейное неоднородным ДУ (ЛНДУ) первого порядка 
.
Линейное однородное ДУ (ЛОДУ) первого порядка 
.
Построение общего решения линейного ДУ
1) Найти 
общее решение ЛОДУ.
2) Общее решение ЛНДУ ищем в похожем виде 
.
3) Из уравнения 
находим 
, подставляем в вид решения.
Пример. Найти общее решение для 
.
Данное уравнение по виду ЛНДУ: 
, 
.
Соответствующее ЛОДУ 
. Его общее решение 
.
Общее решение ЛНДУ будем искать в виде 
. Находим из уравнения 
: 
. Подставим в , получим 
– общее решение.
Дифференциальные уравнения высших порядков
Понижение порядка – основной метод решения уравнений высших порядков.
Уравнения вида y(n) = f(x) – 
Пример. Решить 
с начальными условиями x0 = 0; y0 = 1; 
Общее решение 
Подставим начальные условия: 
Получаем частное решение (решение задачи Коши): 
.
Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка k-1: 
Для понижения порядка на k единиц производят замену переменной:
Тогда получаем: 
Пример. Найти общее решение уравнения 
.
Подстановка 
получим 
Обратная замена: 
Общее решение: 
Уравнения, не содержащие явно независимой переменной: 
Порядок понижается на единицу заменой 
Тогда 
и т.д.
Подставляя эти значения в исходное дифференциальное уравнение, получаем: 
Пример. Понизить порядок уравнения 
Замена: 
получаем 
итак, получили ДУ порядка 1.
Пример. Решить уравнение 
Подстановка Тогда 
Окончательно получаем общее решение: 
Линейные дифференциальные уравнения 2 порядка
ЛНДУ 
, ЛОДУ 
Задача Коши – найти решение ДУ, удовлетворяющее начальным условиям 
, 
.
Алгоритм поиска общего решения ЛОДУ
1) Найти корни характеристического уравнения – 
(производная заменяется степенью того же порядка).
2) Проверить частные случаи и найти фундаментальную систему решений (ФСР):
– если 
, то характеристическое уравнение имеет два вещественных различных корня 
и 
, ФСР 
, 
;
– если 
, то характеристическое уравнение имеет один вещественный корень 
кратности 2, ФСР 
, 
;
– если 
, то характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня 
и 
, ФСР 
, 
.
4) Общее решение ЛОДУ 
, где 
и 
–произвольные постоянные.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
1) Его характеристическое уравнение имеет вид 
.
2) Так как 
, то корни уравнения комплексно-сопряженные 
.
3) ФСР 
, 
. 4) Общее решение: 
.
Пример. Найти решение ДУ 
, удовлетворяющее начальным условиям , 
.
1) Его характеристическое уравнение имеет вид 
.
2) Так как 
, то уравнение имеет два различных вещественных корня 
, 
.
3) ФСР 
, 
. 4) Общее решение: 
.
5) Найдем постоянные по начальным условиям , . Вычислим: 
. Подставим в общее решение и его производную , : 
или 
Решив, получаем 
, 
. Тогда искомое частное решение примет вид 
.
