Автономной системой дифференциальных уравнений n –го порядка называется система, которая в нормальной форме записывается в виде
В векторной форме автономная система имеет вид x ' = F (x) (не зависит от t), где 
Название автономная система связано с тем, что поскольку производная x ' зависит только от x и не зависит от t, то решение само управляет своим изменением. Автономные системы называют также динамическими системами.
Любую систему дифференциальных уравнений, записанную в нормальной форме, можно свести к автономной системе, увеличив число неизвестных функций на единицу:
Будем полагать, что для рассматриваемых автономных систем выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.
Пусть x = φ( t) — решение автономной системы, определенное на отрезке [a, b]. Множество точек x = φ( t), t ∈ [a, b] — кривая в пространстве R x n. Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство R x n, в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством автономной системы.
Точка a называется положением равновесия (точкой покоя) автономной системы, если F (a) = 0.
Равенство x = φ( t), t ∈ [a, b] — параметрические уравнения фазовой траектории.
Интегральная кривая системы изображается в (n + 1) –мерном пространстве R x , t n +1 и может быть определена уравнениями
Ясно, что соответствующая фазовая траектория — проекция интегральной кривой на пространство R x.
Свойства: Если 
- решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, т.е. процесс, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, т.е. процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, т.е. 
, и не зависят от выбора начального значения аргумента 
.
38) Положения равновесия. Циклы. 
39) Особые точки. Узлы, центр, седло. 
40) Основные понятия устойчивости по Ляпунову.
41) Устойчивость линейных систем.
Для линейной системы
| x ′ = A (t) x + b (t), | (ЛС) |
| aij, bi ∈ C ([ t 0, +∞), R), |
и любого ее решения x = φ(t) приведенная система совпадает с соответствующей (ЛОС).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Произведем замену y = x – φ(t):
| y ′ = A (t) x + b (t) – A (t)φ(t) – b (t) = A (t)(x – φ(t)) = A (t) y. | ||
| Критерии устойчивости (ЛС). Пусть Φ t 0(t) — фундаментальная матрица (ЛОС), нормальная в t 0. Утверждается, что | ||
| (а) (ЛС) устойчива ⇔ Φ t 0(t) ограничена на [ t 0, +∞); |
| (б) (ЛС) асимптотически устойчива ⇔ Φ t 0(t) → 0 при t → +∞ ⇔ (ЛС) асимптотически устойчива в целом; |
| (в) (ЛС) экспоненциально устойчива ⇔ (M > 0, γ > 0) ∀ (t ≥ t 0) [||Φ t 0(t)|| ≤ Me –γ(t – t 0)] ⇔ (ЛС) экспоненциально устойчива в целом. |
Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Пусть (ЛС) устойчива, т. е. устойчиво нулевое решение (ЛОС). Положив в определении устойчивости ε = 1, найдем δ > 0 такое, что
| || x 0|| < δ ⇒ || gt 0 t (x 0)||= ||Φ t 0(t) x 0|| < 1 (t ≥ t 0). |
Следовательно, если || x || = 1, то ||δ x /2|| < δ и
|
| Поэтому ||Φ t 0(t)|| < 2/δ, т. е. Φ t 0(t) ограничена. | ||
| Если, наоборот, известно, что ||Φ t 0(t)|| ≤ H (t ≥ t 0), | ||
| то || gt 0 t (x 0)||≤ H || x 0||, | ||
так что для любого ε > 0 в определении устойчивости нулевого решения (ЛОС) можно взять δ = ε/ H.
| (б) Пусть (ЛС) асимптотически устойчива. Тогда || x 0|| < Δ ⇒ ||Φ t 0(t) x 0|| → 0 при t → +∞. |
В частности для орта ek
|
| (мы рассматриваем произвольную норму в R n, поэтому, возможно, || ek || ≠ 1). Это означает, что все столбцы матрицы Φ t 0(t) стремятся к нулю при t → +∞; но тогда и сама матрица стремится к нулю. |
| Пусть дано, что Φ t 0(t) → 0 при t → +∞. Тогда для любого x 0 ∈ R n |
| gt 0 t (x 0)= Φ t 0(t) x 0 → 0 при t → +∞, |
т. е. (ЛС) асимптотически устойчива в целом.
Наконец, из асимптотической устойчивости в целом следует асимптотическая устойчивость.
(в) Если (ЛС) экспоненциально устойчива, то существуют Δ1 > 0, M > 0 и γ > 0 такие, что
| || x 0|| < Δ1 ⇒ ||Φ t 0(t) x 0|| ≤ Me –γ(t – t 0)|| x 0|| (t ≥ t 0). |
Поэтому для любого x, удовлетворяющего условию || x || = 1, будем иметь:
|
|
Следовательно,
| ||Φ t 0(t)|| ≤ Me –γ(t – t 0) (t ≥ t 0). |
Наоборот, если выполнено последнее неравенство, то для любого x 0
| ||Φ t 0(t) x 0|| ≤ ||Φ t 0(t)||·|| x 0|| ≤ Me –γ(t – t 0)|| x 0|| (t ≥ t 0), |
т. е. (ЛС) экспоненциально устойчива в целом.
Остается заметить, что экспоненциальная устойчивость в целом влечет экспоненциальную устойчивость.
42) Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. 
43) Интегрирование линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка. 
