Автономные системы. Свойства.

Автономной системой дифференциальных уравнений n –го порядка называется система, которая в нормальной форме записывается в виде

В векторной форме автономная система имеет вид x ' = F (x) (не зависит от t), где

Название автономная система связано с тем, что поскольку производная x ' зависит только от x и не зависит от t, то решение само управляет своим изменением. Автономные системы называют также динамическими системами.

Любую систему дифференциальных уравнений, записанную в нормальной форме, можно свести к автономной системе, увеличив число неизвестных функций на единицу:

Будем полагать, что для рассматриваемых автономных систем выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Пусть x = φ( t) — решение автономной системы, определенное на отрезке [a, b]. Множество точек x = φ( t), t ∈ [a, b] — кривая в пространстве R _x ⁿ. Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство R _x ⁿ, в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством автономной системы.

Точка a называется положением равновесия (точкой покоя) автономной системы, если F (a) = 0.

Равенство x = φ( t), t ∈ [a, b] — параметрические уравнения фазовой траектории.

Интегральная кривая системы изображается в (n + 1) –мерном пространстве R _{x , t} ^{n +1} и может быть определена уравнениями

Ясно, что соответствующая фазовая траектория — проекция интегральной кривой на пространство R _x.

Свойства: Если - решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, т.е. процесс, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, т.е. процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, т.е. , и не зависят от выбора начального значения аргумента .

38) Положения равновесия. Циклы.

39) Особые точки. Узлы, центр, седло.

 

 

40) Основные понятия устойчивости по Ляпунову.

41) Устойчивость линейных систем.
Для линейной системы

x ′ = A (t) x + b (t),

(ЛС)

 

aij, bi ∈ C ([ t 0, +∞), R),

и любого ее решения x = φ(t) приведенная система совпадает с соответствующей (ЛОС).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Произведем замену y = x – φ(t):

y ′ = A (t) x + b (t) – A (t)φ(t) – b (t) = A (t)(x – φ(t)) = A (t) y.
Критерии устойчивости (ЛС). Пусть Φ t 0(t) — фундаментальная матрица (ЛОС), нормальная в t 0. Утверждается, что

 

(а) (ЛС) устойчива ⇔ Φ t 0(t) ограничена на [ t 0, +∞);

 

(б) (ЛС) асимптотически устойчива ⇔ Φ t 0(t) → 0 при t → +∞ ⇔ (ЛС) асимптотически устойчива в целом;

 

(в) (ЛС) экспоненциально устойчива ⇔ (M > 0, γ > 0) ∀ (t ≥ t 0) [||Φ t 0(t)|| ≤ Me –γ(t – t 0)] ⇔ (ЛС) экспоненциально устойчива в целом.

Д о к а з а т е л ь с т в о. (а) Пусть (ЛС) устойчива, т. е. устойчиво нулевое решение (ЛОС). Положив в определении устойчивости ε = 1, найдем δ > 0 такое, что

|| x 0|| < δ ⇒ || gt 0 t (x 0)||= ||Φ t 0(t) x 0|| < 1 (t ≥ t 0).

Следовательно, если || x || = 1, то ||δ x /2|| < δ и

||Φ t 0(t) x 0|| = δ ||Φ t 0(t)(δ x /2)|| < δ .

 

Поэтому ||Φ t 0(t)|| < 2/δ, т. е. Φ t 0(t) ограничена.
Если, наоборот, известно, что ||Φ t 0(t)|| ≤ H (t ≥ t 0),
то || gt 0 t (x 0)||≤ H || x 0||,

так что для любого ε > 0 в определении устойчивости нулевого решения (ЛОС) можно взять δ = ε/ H.

(б) Пусть (ЛС) асимптотически устойчива. Тогда || x 0|| < Δ ⇒ ||Φ t 0(t) x 0|| → 0 при t → +∞.

В частности для орта e_k

||Φ t 0(t) ek || = 2|| ek || Δ · || Φ t 0(t) ( ek · Δ 2|| ek || ) || → 0 при t → +∞

 

(мы рассматриваем произвольную норму в R n, поэтому, возможно, || ek || ≠ 1). Это означает, что все столбцы матрицы Φ t 0(t) стремятся к нулю при t → +∞; но тогда и сама матрица стремится к нулю.

 

Пусть дано, что Φ t 0(t) → 0 при t → +∞. Тогда для любого x 0 ∈ R n

 

gt 0 t (x 0)= Φ t 0(t) x 0 → 0 при t → +∞,

т. е. (ЛС) асимптотически устойчива в целом.

Наконец, из асимптотической устойчивости в целом следует асимптотическая устойчивость.

(в) Если (ЛС) экспоненциально устойчива, то существуют Δ₁ > 0, M > 0 и γ > 0 такие, что

|| x 0|| < Δ1 ⇒ ||Φ t 0(t) x 0|| ≤ Me –γ(t – t 0)|| x 0|| (t ≥ t 0).

Поэтому для любого x, удовлетворяющего условию || x || = 1, будем иметь:

||Φ t 0(t) x || = Δ1 || Φ t 0(t) ( x · Δ1 ) || ≤

 

≤   Δ1 Me –γ(t – t 0) || x 0· Δ1 || = Me –γ(t – t 0)|| x ||.

Следовательно,

||Φ t 0(t)|| ≤ Me –γ(t – t 0) (t ≥ t 0).

Наоборот, если выполнено последнее неравенство, то для любого x ₀

||Φ t 0(t) x 0|| ≤ ||Φ t 0(t)||·|| x 0|| ≤ Me –γ(t – t 0)|| x 0|| (t ≥ t 0),

т. е. (ЛС) экспоненциально устойчива в целом.

Остается заметить, что экспоненциальная устойчивость в целом влечет экспоненциальную устойчивость.

 

42) Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

43) Интегрирование линейного однородного уравнения в частных производных первого порядка.