бірінші ретті дифференциалдық теңдеулерді шешу алгоритмі шешу тәсілін анықтауға көмектеседі.
| № | Теңдеудің аты | Теңдеудің формуламен жазылуы + түсініктеме | Теңдеуді шешуге нұсқау |
| Қарапайым ДТ | 
| 
| |
| Айнымалылары ажыратылған теңдеу | 
|  ,
 – тұрақты
| |
| Айнымалылары ажыратылатын теңдеу | 
|  №2 
| |
| №2
| ||
| Сызықтық біртекті теңдеу | 
| 3-пунктті қараңыз: 
 (1)
| |
| Сызықтық біртекті емес теңдеу | 
| Сәйкес сызықтық біртекті теңдеуді шешіңіз. (1) - дегі С-ны  -ке тәуелді функция деп есептеп, (1)-ді
5-пунктке қойыңыз:
 (C+
+ 
| |
| Бернулли теңдеуі | 
| Ауыстыру: 
| |
| Толық дифференциалды теңдеу | , мұндағы 
|  немесе
|
Тапсырма 1. 
функциясының 
теңдеудің шешімі болатындығын, болмайтындығын тексеріңіз.
Шешуі.
Функцияның туындысын табамыз:
.
Берілген теңдеуге 
және 
мәндерін қоямыз:
.
Жауабы: берілген функция теңдеудің шешімі болады.
Тапсырма 2. Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табыңыз: 
Шешуі.
айнымалылары ажыратылатын теңдеу. 
айнымалылары ажыратылған теңдеу.
Жауабы: 
теңдеудің жалпы интегралы.
Тапсырма 3. Коши есебін шешіп, интегралдық қисықты сызыңыз: 
.
Шешуі.
айнымалылары ажыратылатын теңдеу.
теңдеудің жалпы шешімі.
Бастапқы шарттарды қолданамыз: 
бастапқы шарттарды қанағаттандыратын дербес шешім.
Жауабы: 
.
Тапсырма 4. Коши есебін шешіңіз: 
Шешуі.
айнымалылары ажыратылатын теңдеу.
қа бөлеміз: 
теңдеудің жалпы шешімі.
Бастапқы шарттарды қанағаттандыратын дербес шешімді іздейміз: 
.
Ескерту. қа бөлгенде = 0 немесе = 0 шешімін жоғалтуымыз мүмкін. Теңдеуге қою арқылы = 0 осы теңдеудің шешімі екендігіне көз жеткіземіз. Сонымен қатар, = 0 теңдеудің жалпы шешіміне кірмейтіндіктен, ерекше шешімі болады.
Жауабы: 
= 0.
Тапсырма 5. Коши есебін шешіңіз: 
Шешуі.
Тұрақтыны вариациалау тәсілін қолданамыз. Теңдеуді 
ке бөлеміз:
бірінші ретті сызықтық біртекті емес теңдеу.
Сәйкес сызықтық біртекті теңдеу жазамыз: 
.
Бұл айнымалылары ажыратылатын теңдеу.
сызықтық біртекті теңдеудің жалпы шешімі. Сызықтық біртекті емес теңдеудің шешімін 
түрінде іздейміз, мұндағы 
белгісіз функция.
Берілген теңдеуге 
мәндерін қоямыз:
Демек, 
теңдеудің жалпы шешімі. (0) = 0 бастапқы шартын қолданамыз:
0 = -1+ С; С = 1.
Жауабы: 
.
Тапсырма 6. Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табыңыз:
Шешуі.
Бернулли теңдеуі.
Ауыстыру жасаймыз: 
. 
. Теңдеуге қоямыз: 
сызықтық теңдеу.
, 
.
Демек, 
.
Сонымен, 
яғни 
.
Жауабы: 
.
Тапсырма 7. Дифференциалдық теңдеудің жалпы интегралын табыңыз: 
Шешуі.
, демек толық дифференциалдың шарттары орындалады: 
. Белгісіз 
функцияны мына формула бойынша табамыз: 
.
деп аламыз:
.
болғандықтан, 
берілген теңдеудің жалпы интегралы.
Жауабы: 
8 және 9 тапсырмаларды «Ретін төмендетуге болатын жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер» тақырыбы бойынша құрылған төмендегі кестенің көмегімен шешуге болады.
| № | Теңдеудің формуламен жазылуы | Түсініктеме | Қажет ауыстыру (инструкция) |
| Функцияның туындысы -ке тәуелді функция арқылы айқын түрде берілген
|  рет интегралдау
| |
 0
| Теңдеуде тәуелсіз айнымалы жоқ
|  ,
 ()  ()
| |
 0
| Теңдеуде белгісіз функция () жоқ
|  =  ,  = 
| |
| Теңдеуде белгісіз функцияның  -1 ретті туындылары жоқ
| 
 , …,
|
Тапсырма 8. Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табыңыз: 
Шешуі.
Бұл теңдеу 
түріндегі екінші ретті теңдеу. Екі рет интегралдау арқылы ретін төмендетеміз:
Жауабы: 
жалпы шешімі.
Тапсырма 9. Дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табыңыз: 
Шешуі.
Бұл – функциясы айқын түрде көрсетілмеген теңдеу.
ауыстыруын қолданамыз, сонда 
.
Теңдеу мына түрге келеді: 
айнымалылары ажыратылатын теңдеу. Екі жағын 
бөлеміз: 
.
болғандықтан, 
айнымалылары ажыратылатын теңдеу.
жалпы шешімі.
Ескерту. 
ке бөлгенде 
және 
шешімдерін жоғалтып алуымыз мүмкін. теңдеуінен 
бірақ бұл шешім 
мәнінде жалпы шешімде бар. теңдеуі -тің нақты мәндерінде орындалмайды.
Жауабы: 
Тапсырма 10. Коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табыңыз.
Мұндай тапсырмаларды орындау үшін екінші ретті коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеуді қарастырамыз:
Сипаттаушы теңдеуін жазамыз: 
, 
| Сипаттаушы теңдеудің түбірлері | Шешімнің фундаментальді жүйесі | Жоғарғы ретті коэффициент тері тұрақты сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімі
=C1 1+C2  2
|
| >0
| 
|  , 
| = C1  C2 
|
| =0
|  , 
| 1=  ,
2= 
| = C1  C2  немесе
=  С1+ C2 
|
| <0
| 
| 1=  , 2= 
| =C1  C2 немесе
=  C2 
|
Мысал 1. 
Шешуі.
берілген теңдеудің сипаттаушы теңдеуі.
сипаттаушы теңдеудің әртүрлі нақты түбірлері.
Жалпы шешімі: 
.
Жауабы: 
.
Мысал 2. 
Шешуі. 
сипаттаушы теңдеу.
сипаттаушы теңдеудің бірдей түбірлері.
Жалпы шешімі: 
.
Жауабы: 
Мысал 3. 
Шешуі. Сипаттаушы теңдеу құрамыз: 
.
сипаттаушы теңдеудің комплекс түбірлері. 
болғандықтан, жалпы шешімі мына түрде болады: 
Жауабы: 
.
Тапсырма 11. Коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін табыңыз:
Шешуі.
Бұл екінші ретті коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті емес дифференциалдық теңдеу:
, мұндағы 
.
Жалпы шешімін мына түрде іздейміз: = бірт. + д.ш.,
мұндағы бірт. – берілген теңдеуге сәйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі, д.ш. = 
мұндағы 
cипаттаушы теңдеудің түбірлерінің ішіндегі a+bi дің саны, 
.
1) Берілген теңдеуге сәйкес біртекті теңдеуін жазып, жалпы шешімін табамыз: 
, 
cипаттаушы теңдеуі, 
cипаттаушы теңдеудің түбірлері, демек бірт. 
.
2) Біртекті емес теңдеудің дербес шешімін 
функциясының түріне байланысты анықталмаған коэффициенттер тәсілімен табамыз: 
және 
cипаттаушы теңдеудің түбірі болмайтындықтан, дербес шешімді 
түрінде іздейміз. Сонда 
Белгісіз 
коэффициентті табу үшін 
мәндерін бастапқы теңдеуге қоямыз:
, 
.
Демек, 
жалпы шешімі.
Жауабы: 
.
Тапсырма 12. Дифференциалдық теңдеулер жүйесін айнымалыны жою тәсілімен шешіңіз:
Шешуі.
Бірінші теңдеуді бойынша дифференциалдаймыз: 
. Жүйеден 
ті жою үшін екі теңдеуді қосамыз: 
. Демек, 
; 
коэффициенттері тұрақты сызықтық біртекті дифференциалдық теңдеу.
, 
. 
– ні бірінші теңдеуден табамыз: 
Жауабы: 
Дебиеттер
1. Хасеинов К.А. Математика канондары. – Алматы: MMIV, 2004.
2. Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы.
1,2 т. Алматы: 1963–1970.
3. Көксалов К.К. Жоғары математика курсы. – Алматы: 2002.
4. Айдос Е.Ж. Жоғары математика.–Алматы: «Иль-Тех-Кітап», 2003.
5. Шипачев В.С. Высшая математика. – М.: В Ш, 1985. –369 с.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.1,2 – М.: Наука, 1985. – 432 с.
7. Данко П.Е., и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. ч.1,2. 2003.
8. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные разделы математического анализа /Под ред. А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1986, 2002– 368 с.
9. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). – М.: Высшая школа, 1983. –176 с.
10. Базарбаева С.Е., Ким Л.Н., Курбанова Р.А. Математика 3 (методические указания и тестовые задания для подготовки к экзамену).-Алматы: АИЭС,-2007.-27 с.
11. Индивидуальные задания по высшей математике: Комплексные числа. Неопределенные и определенные интегралы. Функции нескольких переменных. Обыкновенные дифференциальные уравнения ч.2: Учеб. пособие/ под ред. А.П. Рябушко – Мн.:Выш.шк.,2000.-396 с.
12. Жуматаева С.А.,Темешева С.М. Математика 3. Конспект лекций (для студентов всех форм обучения всех специальностей).- Алматы: АИЭС, -2008.- 66 с.
13. Базарбаева С.Е., Дулэпо В.М. Высшая математика. Методические указания и задания к расчетно графической работе. Ч.6. – Алматы: АИЭС, 2002 – 32 с.
Мазмұны
| 1. | Кіріспе | |
| 2. | Есептеу –сызба жұмыстарының тапсырмалары | |
| 3. | Тапсырмаларды орындауға әдістемелік нұсқаулар. Типтік нұсқаның шешуі | |
| 4. | Әдебиеттер тізімі |
