Методы линеаризации нелинейных систем
Методы линеаризации. Графические методы: метод касательных, метод секущих. Алгебраические методы: замена функций линейной аппроксимацией. Аналитическая линеаризация в окрестности рабочей точки. Вычисление коэффициентов линеаризации методом наименьших квадратов. Гармоническая линеаризация. Эквивалентная линейная система. Определение параметров колебаний на выходе эквивалентной системы. Эквивалентный коэффициент усиления. Описывающая функция и разложение в ряд Фурье. Примеры вычисления коэффициентов гармонической линеаризации для однозначных и многозначных нелинейностей: петля гистерезиса, двухпозиционное реле.
Фазовые траектории в анализе динамики нелинейных систем
Основные определения: фазовое пространство, фазовый портрет, изображающая точка, фазовая траектория. Элементы фазовых портретов нелинейных систем: предельные циклы, сепаратрисы. Перестройка фазового портрета – бифуркация. Классификация локальных структур фазового портрета через линейный анализ в окрестности исследуемой особой точки: узлы, центр, фокусы, седло. Фазовые траектории нелинейных систем — 4 класса траекторий (область устойчивых движений, область устойчивых автоколебаний, область неустойчивых движений, область сложной динамики). Способы построения фазовых траекторий и фазовых портретов: численное моделирование с применением нескольких способов.
«Склеенные» динамические системы (на основе реле), скользящие режимы.
Проявление эффектов бифуркационной памяти в поведении динамической системы: слияние с исчезновением устойчивого и неустойчивого циклов, вынужденные колебания нелинейного осциллятора, бифуркация слияния точек узел-седло. Осциллятор Дуффинга: особенности поведения и анализа системы при наличии ограничителей движения.
Устойчивость и неустойчивость нелинейных систем
Ляпуновские характеристические показатели. Устойчивость по Лагранжу. Устойчивость по Пуассону и возвраты Пуанкаре. Понятие сечения Пуанкаре. Периодические, квазипериодические и хаотические движения. Устойчивость по Ляпунову. Анализ фазовой траектории на устойчивость по линейному приближению и теорема Ляпунова. Ляпуновские характеристические показатели (ЛП): спектр, пример вычисления для особой точки, связь с линейной системой, геометрический смысл ЛП. Алгоритм вычисления старшего ЛП.
Понятие об адаптивных системах управления. Общие принципы построения адаптивных систем управления.
Дискретные системы управления.
Дискретные по времени функции и разностные уравнения. Пример преобразования экспоненциальной функции из непрерывной в дискретную. Представление неявной функции в виде разностного уравнения. Разностные уравнения: левые и правые производные, пример дискретизации уравнения первого порядка. Решетчатые функции.
Применение преобразования Лапласа для анализа дискретных функций времени. Преобразование Лапласа. Теорема Котельникова (прерывания, Шеннона). Спектр дискретного сигнала, нупольный портрет дискретной системы. Фиксирующий элемент (экстраполятор нулевого порядка).
z-преобразование. Переход к z-преобразованию импульсного сигнала. Обратное z-преобразование.
Дискретная передаточная функция. Пример вычисления дискретной передаточной функции апериодического звена. Общее выражение для дискретной передаточной функции. Свойства дискретной передаточной функции: статические системы, системы с астатизмом, реализуемость, связь с импульсной переходной функцией, последовательное соединение подсистем.
Полюса передаточной функции и анализ устойчивости. Расположение действительных полюсов на плоскости z и порождаемые ими переходные процессы. Условие асимптотической устойчивости. w (билинейное) преобразование и алгебраические критерии устойчивости.
