Дифференциальное уравнение первого порядка 
называются неполными, если в нем не содержится (явно) или сама функция у, или независимая переменная х.
В том случае, когда правая часть дифференциального уравнения не содержит самой функции у, оно принимает вид:
или 
, или 
.
Отсюда 
.
Таким образом, получено общее решение неполного дифференциального уравнения. Фактически это задача об отыскании первообразной функции (т.е. это непосредственно задача неопределенного интеграла).
Во втором случае, т.е. когда дифференциальное уравнение имеет вид 
, т.е. в уравнение явно не входит независимая переменная х.
Дифференциальное уравнение принимает вид 
, т.е. получаем у – как независимую переменную, а х – как функцию от у (фактически это обратная функция по отношению к функции у от х).
| Уравнения Лагранжа и Клеро |
Уравнение Лагранжа
Дифференциальное уравнение вида
где φ (y') и ψ (y') − известные функции,
дифференцируемые на некотором интервале,
называется уравнением Лагранжа. Полагая y' = p и дифференцируя по переменной x,
получаем общее решение уравнения в
параметрической форме:
при условии, что
где p − параметр. Уравнение Лагранжа может также иметь
особое решение, если нарушается условие
φ (p) − p ≠ 0. Особое решение определяется
функцией
где c − корень уравнения φ (p) − p = 0.
Уравнение Клеро
Уравнение Клеро имеет вид:
где ψ (y') − некоторая нелинейная
дифференцируемая функция.
Уравнение Клеро является частным случаем
уравнения Лагранжа, когда φ (y') = y'.
Оно решается аналогичным образом с помощью
введения параметра. Общее решение
определяется выражением
в котором C − произвольная постоянная. Также как и уравнение Лагранжа, уравнение
Клеро может иметь особое решение, которое
выражает в параметрической форме:
где p − параметр.
|
| Пример 1 |
Найти все решения дифференциального уравнения
y = 2 xy' − 3(y')2.
Решение.
Здесь мы имеем дело с уравнением Лагранжа. Буде
м решать его методом введения параметра. Обозначим y' = p, так что уравнение можно записа
ть в форме:
Дифференцируя обе части, получаем:
Дифференциал dy можно заменить на pdx:
Разделив на p, можно записать следующее уравнение (позже мы проверим, не является ли p = 0 решением исходного уравнения):
Как видно, мы получили линейное уравнение для функции x (p). Интегрирующий множитель будет равен:
Тогда общее решение линейного дифференциальног
о уравнения имеет вид:
Подставляя это выражение для x в уравнение Лагранжа, находим:
Таким образом, общее решение в параметрической
форме определяется системой уравнений:
Кроме общего решения, уравнение Лагранжа може
т иметь еще особое решение. Решая алгебраическо
уравнение φ (p) − p = 0, находим корень:
Следовательно, особое решение представляется в в
иде следующей линейной функции:
Найти общее и особое решения дифференциального
уравнения y = xy' + (y')2.
Решение.
Здесь мы имеем дело с уравнением Клеро. Полагая
y' = p, его можно записать в виде
Продифференцировав по переменной x, находим:
Заменим dy на pdx:
Приравнивая первый множитель к нулю, получаем:
Теперь подставим это во второе уравнение:
В результате получаем общее решение заданного
уравнения Клеро. Графически, это решение
представляется в виде однопараметрического
семейства прямых. Приравнивая нулю второй сомножитель, находим
еще одно решение:
Это уравнение соответствует особому решению
дифференциального уравнения и в
параметрической форме записывается как
Исключая p из системы, получаем следующее
уравнение интегральной кривой:
|
