Тема «неопределённый интеграл. Метод интегрирования по частям.

Министерство образования Тверской области

ГБПОУ «Тверской колледж им. А.Н. Коняева»

Математика

Методические рекомендации

для выполнения домашней работы по дисциплине «Математика»

(для студентов-заочников )

 

 

Тверь 2016 г

 

 

Одобрено предметной (цикловой) Заместитель директора

комиссией по учебной работе

Председатель: Лабудина И.А. Лукина Н.С.

____________________ _____________________

 

 

Составил: Бодров Е.Н.

__________________

 

Учебное пособие содержит материал по темам «Пределы», «Производная», «Интеграл», «Комплексные числа». Пособие предназначено для студентов-заочников, изучающих дисциплину «Математика»

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

 

ВВЕДЕНИЕ. 4

ЗАДАНИЯ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ 5

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 12

ПРИЛОЖЕНИЯ.. 13

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Перед выполнением домашней работы студентам рекомендуется изучить соответствующие темы по учебникам указанным в списке литературы.

При выполнении домашней работы следует руководствоваться следующими требованиями.

1. Работа должна быть представлена в срок, установленный графиком учебного процесса.

2. Работа должна быть правильно оформлена и выполнена четким, разборчивым почерком без применения сокращений слов. Страницы должны быть пронумерованы и иметь поля для замечаний преподавателя.

3. В начале работы должен быть указан номер варианта. Номер варианта работы соответствует последней цифре зачётной книжки студента.

4. Последовательность изложения решений задач должна соответствовать их номерам в домашней работе.

5. Перед решением задач необходимо указать их номер и полностью привести условие.

6. Решение задания должно завершаться ответом с указанием искомых величин и их значений.

7. Решение задач следует представлять в развернутом виде с краткими пояснениями и подробными арифметическими расчетами. При этом сначала необходимо привести определение и выражение для вычисления искомой характеристики. Задачи, в которых приводятся только ответы без промежуточных вычислений, считаются нерешенными.

8. Титульный лист работы должен быть корректно оформлен.

Студенты, не выполнившие домашнюю работу или не устранившие замечания преподавателя, к сдаче зачёта не допускаются.

 

 

ЗАДАНИЯ ДОМАШНЕЙ РАБОТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ

Тема «Пределы»

Задание №1.Вычислить пределы.

1. а) ; б) в) . 2. а) ;б) ;в) . 3. а) ;б) ;) . 4. а) ;б) ; в) . 5. а) ;б) ;в) . 6. а) ;б) ;в) . 7.а) ;б) ; в) . 8. а) ;б) ;в) . 9. а) ; б) ; в) . 10. а) ; б) ; в) .

 

 

Решение типового примера. Найти пределы

а) . При и числитель и знаменатель дроби, стремятся к нулю (неопределенность ). Для

 

раскрытия неопределенности разложим многочлен и в числителе и знаменателе на линейные множители и сократим дробь. Получим,

.

б) . При числитель и знаменатель дроби стремятся к (неопределенность ). Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель на х² (х² – самая высокая степень х). Получим,

.

в) . Для раскрытия неопределенности воспользуемся правом замены эквивалентных бесконечно малых сомножителей (приложения, таблица 5). В нашем случае ~3х, sin5x~5х. Поэтому, .

г) . Для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель умножим на сопряженную величину . Получим,

.

ТЕМА «ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ»

Задание №2.Найти производные функций, пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

1.	а) ,
	б) ,
2.	а) ,
	б) ,
3.	а) ,
	б) ,
4.	а) ,
	б) ,
5.	а) ,
	б) ,
6.	а) ,
	б) ,
7.	а) ,
	б) ,
8.	а) ,
	б) ,

 

9.	а) ,
	б) ,
10.	а) ,
	б) ,

Решение типового примера

Для нахождения производных надо использовать таблицу производных от основных элементарных функций (приложения, таблица 1),

а также пользоваться арифметическими свойствами производной (приложения, таблица 2) и правилом дифференцирования сложной функции

.

Например, найти производную функции . Данная функция является сложной и имеет вид: . Поэтому,

При вычислении производной мы пользовались формулами:

.

ТЕМА «НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОД ПОДСТАНОВКИ»

Задание №3. Найти неопределенные интегралы методом подстановки (методом замены переменной).

1.	.	8.	.
2.	.	9.	.
3.	.	10.	.
4.	.
5.	.
6.	.
7.	.

 

Решение типовых примеров.

Найти неопределенные интегралы: (приложения, таблица 4)

1. . Сделаем замену t=arccosx. Тогда и .

2. . Применим подстановку , тогда , откуда .

ТЕМА «НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ.

Задание №4. найти неопределенные интегралы, применяя метод интегрирования по частям.

1.	.	8.	.
2.	.	9.	.
3.	.	10.	.
4.
5.	.
6.	.
7.	.

Решение типового примера.

Найти интеграл:

1. Решение: применим формулу интегрирования по частям . Разбиваем подитегральное выражение на части: ,

тогда .

Следовательно, .

2. Решение: положим , тогда

Отсюда . Применяя в последнем интеграле подстановку , получаем , следовательно, ,

отсюда .

ТЕМА «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»

Задание №5. Даны комплексные числа. Найти: а) их сумму; б) их разность; в) их произведение; г) их частное; д) квадрат каждого числа.

1. , ;

2. , ;

3. , ;

4. , ;

5. , ;

6. , ;

7. , ;

8. , ;

9. , ;

10. , .

Решение типового примера

Пусть даны комплексные числа , .

а) .

б)

в)

Замечание:

г)