Анализ цепей по законам Кирхгофа

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное автономное образовательное

Учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский федеральный университет»

Институт горного дела, геологии и геотехнологий

 

Теоретические

Основы электротехники

 

Линейные электрические цепи постоянного тока

 

Методические указания к выполнению

расчётно-графической работы №1

для студентов специализации 130400.65.00.10 «Электрификация и автоматизация горного производства»

(укрупнённая группа 130400.65 – Горное дело)

 

 

Красноярск 2013

Теоретические основы электротехники. Линейные электрические цепи постоянного тока. Методические указания к выполнению расчётно-графической работы № 1 для студентов специализации 130400.65.00.10 «Электрификация и автоматизация горного производства» (укрупнённая группа 130400.65 – Горное дело)

 

Рассмотрен анализ линейных электрических цепей методами контурных токов, узловых потенциалов и методом эквивалентного генератора. Приведены примеры расчётов.

 

Составители: В.В. Кибардин – к.т.н., доц. каф. ЭГМП

О.А. Кручек – ст. преп. каф. ЭГМП

В.А. Меньшиков – к.т.н., доц. каф. ЭГМП

 

Методические указания утверждены на заседании кафедры ЭГМП.

 

Протокол № от «»2013 г.

 

 

Оглавление

 

ВВЕДЕНИЕ.. 4

1. УКАЗАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ ТИПОВЫХ РАСЧЁТОВ.. 4

2. РАСЧЁТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С ИСТОЧНИКАМИ ПОСТОЯННЫХ ЭДС И ТОКОВ.. 4

2.1. Анализ цепей по законам Кирхгофа. 5

2.2. Метод контурных токов. 8

2.3. Метод узловых потенциалов. 10

2.4. Метод эквивалентного источника. 13

2.5. Баланс мощностей в электрических цепях. 15

РАСЧЁТНО – ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА №1. 16

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Данная работа оказывает помощь студентам, изучающим дисциплину «Теоретические основы электротехники», помогает усвоению раздела «Свойства и методы расчета линейных цепей с источниками постоянного напряжения и тока». Приведены теоретические сведения и примеры расчётов цепей постоянного тока.

Методические указания предназначены для студентов специализации 130400.65.00.10 всех форм обучения.

 

1. УКАЗАНИЯ ПО ОФОРМЛЕНИЮ ТИПОВЫХ РАСЧЁТОВ

 

В соответствии с стандартом СФУ, правилами, принятыми в электротехнике, пояснительная записка пишется на одной стороне стандартных листов формата А4 (297*210). Она должна содержать: титульный лист по принятому образцу; задание с исходными данными; текстовый материал и таблицу соответствия переменных задания и машинных переменных; результаты решения; графический материал. Схемы и потенциальные диаграммы необходимо выполнять с применением чертёжных принадлежностей, изображая элементы схем в соответствии с ГОСТом.

 

2. РАСЧЁТ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ С ИСТОЧНИКАМИ ПОСТОЯННЫХ ЭДС И ТОКОВ

 

Основной задачей расчета электрических цепей является определение токов, напряжений и мощностей ветвей цепи по заданным их сопротивлениям R, проводимостям G и источникам электрической энергии E или J. Эти задачи имеют единственное решение, которое для линейных цепей может быть получено составлением и решением системы алгебраических уравнений с учётом законов Кирхгофа, Ома и Джоуля-Ленца. В общем случае имеем 2b линейно независимых уравнений, если цепь содержит b ветвей и q узлов. Иногда в рассматриваемой цепи имеется b_ИТ ветвей, в которых содержатся идеализированные источники тока J, и b_ИН ветвей, составленных только из идеализированных источников напряжения E, поэтому общее число неизвестных напряжений и токов уменьшается до

2b – b_ИТ – b_ИН.

На практике для анализа цепей применяют различные методы составления уравнений электрического равновесия, позволяющие уменьшить размерность исходной системы уравнений.

 

 

Анализ цепей по законам Кирхгофа

 

Методы формирования уравнений электрического равновесия цепи, основанные на непосредственном применении законов Кирхгофа, позволяют уменьшить число одновременно решаемых уравнений до b.

Первый закон Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узле, равна нулю

ΣIq = 0, (1)

где с положительным знаком учитываются токи, направленные от узла.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений на ветвях любого контура равна нулю

ΣUk = 0, (2)

или в любом контуре алгебраическая сумма э.д.с. равна алгебраической сумме напряжений на сопротивлениях, входящих в этот контур

ΣRkIk = Ek, (3)

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и э.д.с., положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.

При составлении уравнений по законам Кирхгофа рекомендуется придерживаться такой последовательности: сначала выполнить эквивалентные преобразования, выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить q – 1 уравнение на основании первого закона Кирхгофа и, наконец, составить b – (q – 1) уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.

Получить независимые уравнения по первому и второму законам Кирхгофа, т.е. выбрать независимую систему сечений и контуров, можно при помощи дерева графа схемы, содержащего все узлы графа, но ни одного контура, и ветвей связи, дополняющих дерево до исходного графа.

Если граф содержит b ветвей и q узлов, то число ветвей дерева

d = q- 1, а число ветвей связи k = b - (q-1). Для дерева образуется d главных сечений, каждое из которых состоит из ветвей связи и одной ветви дерева, и k главных контуров, каждый из которых состоит из ветвей дерева и только одной ветви связи. Уравнения, составленные по законам Кирхгофа для главных сечений и главных контуров, линейно независимы.

Следует помнить, что на графе электрической цепи ветви, содержащие идеальные источники тока, не показываются.

Например, для сложной электрической цепи (рис. 1) её граф представлен на рис. 2. Он содержит пять ветвей, следовательно необходимо записать пять уравнений: из них два на основании первого закона Кирхгофа (q – 1 = 3 – 1 = 2), остальные – на основании второго закона Кирхгофа.

Исходная система уравнений запишется в виде:

 

Узел 1 – I1 – I2 – I3 – J3 = 0

Узел 2 I3 + J3 + I5 – I4 – J4 = 0

Контур 1-2 R1I1 – R2I2 = E1 + E2

Контур 1-3-5 R1I1 – R3I3 + R5I5 = E1 – E3 + E5

Контур 4-5 R4I4 + R5I5 = E5

 

Рис. 1 Рис. 2

 

Если Е1 = 3 В, J3 = 1 A, R1 = 4 Ом,

Е2 =Е5 = 2 В, J4 = 0,5 A, R2 = 6 Ом,

Е3 = 1 В, R3 = 2 Ом,

R4 = 8 Ом,

R5 = 10 Ом,

то

(4)

или

,

А*х = В, откуда х = А^-1*В.

 

Решение этой системы уравнений в MATLAB и MathCad приведено ниже.

 

1) Using Toolbox Path Cache. Type "help toolbox_path_cache" for more info. To get started, select "MATLAB Help" from the Help menu.

>> A=[-1 -1 -1 0 0; 0 0 1 -1 1; 4 -6 0 0 0; 4 0 -2 0 10; 0 0 0 8 10]

A =

-1 -1 -1 0 0

0 0 1 -1 1

4 -6 0 0 0

4 0 -2 0 10

0 0 0 8 10

>> B=[1; -0,5; 5; 4; 2]

B =

1.0000

-0.5000

5.0000

4.0000

2.0000

>> AI=inv(A)

AI =

-0.4372 -0.3015 0.0729 0.0678 0.0377

-0.2915 -0.2010 -0.1181 0.0452 -0.0251

-0.2714 0.5025 0.0452 -0.1131 0.0628

-0.1508 -0.2764 0.0251 -0.0628 0.0905

0.1206 0.2211 -0.0201 0.0503 0.0276

>> I=AI*B

I =

0.274

-0.651

-0.623

0.043

0.166

 

2)

 

 

 

Схема замещения в программе multisim

Рис. 3

 

Метод контурных токов

 

Метод контурных токов основан на важной топологической особенности электрических цепей, вытекающей из первого закона Кирхгофа и заключающейся в том, что токи всех ветвей цепи могут быть выражены через токи главных ветвей (ветвей связей). Для определения токов главных ветвей (контурных токов) составляют систему из p – pит – q + 1 уравнений, называемых контурными уравнениями. Их получают с помощью второго закона Кирхгофа.

Для того, чтобы сформулировать правила составления контурных уравнений, введём понятие контурных токов, сопротивлений, Э.Д.С.

Контурный ток Ik – это расчётная величина, которая одинакова для всех ветвей данного контура.

Сопротивление контура Rk – сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур.

Сопротивление ветвей, входящих в два смежных контура, называются общими или взаимными сопротивлениями контуров (Rkj).

Алгебраическая сумма Э.Д.С. данного контура называется контурной Э.Д.С. (Еk).

Рекомендуется следующий порядок составления уравнений с контурными токами:

- в заданной схеме выбирают направление токов в ветвях (произвольно);

- строят граф схемы, переходят к дереву графа схемы, определяют независимые контуры и направления контурных токов;

- определяют контурные Э.Д.С., собственные и взаимные сопротивления контуров;

- записывают исходную систему уравнений и решают её любым известным способом.

Рассмотрим в качестве примера схему, представленную на рис.3

R1=30 Ом, R2=20 Oм, R3=20 Ом, R4=40 Ом, R5=60 Ом, R6=40 Ом, R7=10 Ом, J7=0,4 A, E3=4 В, Е6=16 В.

Для графа схемы (рис.4) выбираем дерево (ветви 2-5-3-7). Образуем главные контуры, присоединив к ветвям дерева по одной ветви связи.

Далее находим:

- контурные ЭДС

ЕІ = -Е3 = -3 В;

ЕI I = Е6 + Е3 + R7I7 = 18 + 3 + 10*0,4 = 25 В;

ЕIII = Е4 = 4 В;

- сопротивления контуров: RI = R1 + R2 + R3 = 70 Ом; RII = R3 + R5 + R6 + R7 = = 130 Ом; RIII = R2 + R4 + R5 = 120 Ом;

- общие сопротивления контуров: RI-II = R3 = 20 Ом; RI-III = R2 = 20 Ом; RII-III = R5 = 60 Ом.

 

 

Записываем исходную систему уравнений

которую решаем на ПЭВМ

; ; .

Токи ветвей равны разнице соответствующих контурных токов, при этом учитываем, что ток ветви, которая принадлежит только данному конту- ру, равен контурному току. Отсюда следует, что

Анализируя (5), нетрудно установить, что все контурные уравнения имеют одинаковую структуру: левая часть их есть алгебраическая сумма членов, один из которых равен произведению RkIk, а остальные – произведениям контурных токов других контуров на Rkj; правая часть контурного уравнения содержит только один член – контурную ЭДС (Еk).

Методом контурных токов следует пользоваться, если число узлов схемы q, уменьшенное на единицу, больше числа k взаимонезависимых контуров: q-1>k.

 

Метод узловых потенциалов

 

В качестве независимых переменных, относительно которых формируют уравнения электрического равновесия цепи, удобно использовать узловые напряжения, т.е. напряжения узлов рассматриваемой цепи относительно базисного, потенциал которого принимается равным нулю. Для определения неизвестных узловых напряжений записывают q – pин - 1 уравнений электрического равновесия цепи, называемых узловыми. Метод формирования уравнений электрического равновесия цепи, в котором в качестве переменных используются неизвестные напряжения (потенциалы) относительно базисного, называется методом узловых напряжений (потенциалов). Метод основан на первом законе Кирхгофа и законе Ома для обобщенной ветви (рис. 5).

Закон Ома для обобщенной ветви:

 

Рис.5

Если ветвь содержит только пассивные элементы и источники ЭДС (рис. 6), то обобщенный закон Ома имеет вид

 

где ΣЕ – алгебраическая сумма ЭДС в ветви; Rab – сумма сопротивлений в ветви и Gab=1/Rab.

Введем новые понятия. Сумма проводимостей всех ветвей, присоединенных данному узлу, называется собственной узловой проводимостью Gii. Сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих данные два узла, называется общей узловой (взаимной) проводимостью Gij. Узловым током Ji называется алгебраическая сумма токов источников токов и произведений ЭДС на соответствующие проводимости ветвей, присоединенных к узлу. С положительным знаком записывают токи и ЭДС, направленные к рассматриваемому узлу.

Порядок составления уравнений по методу узловых потенциалов:

- в заданной схеме намечают базисный узел и все независимые узлы; выбирают положительные направления узловых напряжений (от независимых узлов к базисному) и токов в ветвях;

- определяют узловые токи, собственные и узловые проводимости;

- записывают систему уравнений; в левой части уравнений слагаемые с собственной узловой проводимостью берут со знаком плюс, а слагаемые с общими узловыми проводимостями – со знаком минус;

- решают исходную систему уравнений любым известным методом.

В развернутой форме система уравнений имеет вид:

Пример: Найти токи ветвей электрической цепи (рис. 7) если

R1=R3=R4=10 Ом; R2=R5=5 Ом; R6=2 Ом; R7=1 Ом; E1=200 B; E2=80 B; E3=30 B; E6=38 B; E7=60 B.

 

 

 

Принимаем за базисный четвертый узел (рис. 7). Находим собственно узловые проводимости

 

Определим общие узловые проводимости

 

Рассчитываем узловые токи

Записываем систему уравнений

Решаем:

; ; .

Токи находим по закону Ома для обобщенной ветви (рис. 7 и 8).

Методы контурных токов и узловых потенциалов являются базовыми для анализа электрических цепей с источниками постоянных токов и ЭДС. На практике для формирования уравнений электрического равновесия используют метод, в котором приходится определять меньшее количество независимых переменных. При b – b_ИТ – q + 1 ≥ q – b_ИН - 1 рекомендуется применять метод узловых потенциалов, если это условие не выполняется, токи ветвей рассчитывают методом контурных токов.

Использование рассмотренных методов является целесообразным только в тех случаях, когда в результате анализа требуется определить все неизвестные токи или напряжения. При определении тока или напряжения одной или нескольких ветвей, используют методы, основанные на применении теорем электрических цепей.