Понятие комплексного числа

Реферат

Комплексные числа

Выполнил: Зейнелхан Илияс

Группа: ИСР-31

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кар дано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кар дано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Поэтому квадратные корни из отрицательных чисел стали употреблять в математике и назвали их мнимыми числами – тем самым они как бы приобрели право на нелегальное существование. Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс, который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень.

 

ПОНЯТИЕ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.

Так для решимости уравнений вида X+A=B положительных чисел недостаточно. Например, уравнение X+5=2 не имеет положительных корней.Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль.

На множестве рациональных чиселразрешимы алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида A·X+B=0 (A/>0). Однако алгебраические уравнениястепени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такимиявляются уравнения X2=2, X3=5. Необходимостьрешения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных чисел.Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел.

Однако и действительных чиселнедостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например,квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательнымдискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них – уравнение X2+1=0. Поэтомуприходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новыечисла. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество,которое называют множеством комплексных чисел.

Выясним предварительно, какой виддолжны иметь комплексные числа. Будем считать, что на множестве комплексныхчисел уравнение X2+1=0 имеет корень. Обозначим этот кореньбуквой i Таким образом, i – это комплексное число, такое, что i 2= –1.

Как и для действительных чисел, нужноввести операции сложения и умножения комплексных чисел так, чтобы сумма ипроизведение их были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел A и B выражение A+B· i можно считать записью комплексногочисла в общем виде. Название «комплексное» происходит от слова «составное»: по виду выражения A+B· i.

Комплексными числами называют выражения вида A+B· i, где A и B –действительныечисла, а i –некоторый символ, такой что i 2= –1, и обозначают буквой Z.

Число A называется действительной частью комплексного числа A+B· i, а число B – его мнимой частью. Число i называется мнимой единицей.

Например, действительная частькомплексного числа 2+3· i равна 2, а мнимая равна 3.

Для строгого определения комплексногочисла нужно ввести для этих чисел понятие равенства.

Два комплексных числа A+B· i и C+D· i называются равными тогда итолько тогда, когда A=C и B=D, т.е. когда равны их действительныеи мнимые части.