Машинобудівне підприємство планує освоїти випуск одного з трьох видів продукції (А1, або А2, або А3) Однак результати рішень залежать від конкретних обставин: технології виготовлення виробів (S1), закупівлі та використання спеціального технічного устаткування (S2), впровадження певної системи управління якістю (S3). Можливий прибуток, що можна отримати від реалізації кожного виду продукції при певній обставині (тис. грн.) представлений в таблиці.
Завдання: використовуючи методи та критерії теорії статистичних рішень визначити, яку продукцію слід виготовляти підприємству.
Методичні вказівки до виконання завдання
В задачах теорії статистичних рішень вже існує оцінка реалізації кожного варіанту рішення для кожного стану середовища, в якому воно буде реалізовуватися. Проте зовсім невідомо, який із станів середовища реально виникатиме.
Основні поняття, що використовуються в теорії статистичних рішень:
Стратегія – варіант рішення, що розробляється, наприклад: будувати великий завод, будувати малий завод, нічого не будувати.
Стан природи – стан середовища, в якому можлива реалізація кожної стратегії
Формалізація задачі теорії статистичних рішень здійснюється шляхом побудови матриці стратегій, яка являє собою таблицю, в якій у рядках перелічуються розроблені стратегії, а у стовпчиках – стани природи. В кожній клітинці матриці вказується кількісне значення стратегії (її результат) для для кожного стану природи.
Матриця стратегій
 Стан природи
Стратегія
| S1 | S2 | S3 |
| A1 | ---- | ---- | ---- |
| A2 | ---- | ---- | ---- |
| A3 | ---- | ---- | ---- |
Кожній парі сполучень Ai i Sj відповідає визначений результат зазначений в матриці на перетинанні двох показників.
Розглянемо основні правила, за якими приймаються рішення з використанням теорії статистичних рішень
1. Критерій песимізму Ваальда (правило максимін)
Згідно критерію песимізму для кожної стратегії існує найгірший з можливих результатів. Вибирається при цьому така стратегія, яка забезпечує найкращий з найгірших результатів, тобто забезпечує максимальний з можливих мінімальних результатів.
Математично це можна виразити насупною формулою:
Y = max (min Rij)
де Rij – значення результату і-ї стратегії при j-му стані природи
2. Критерій оптимізму (правило максимакс)
У відповідності до цього критерію, для кожної стратегії є найкращий з можливих результатів. За допомогою критерію оптимізму вибирається стратегія, яка забезпечує найбільший результат з числа максимально можливих:
Y = max (max Rij)
3. Критерій коефіцієнту оптимізму (критерій Гурвіца)
В реальності, особа яка приймає рішення, не є абсолютним песимістом або абсолютним оптимістом. Звичайно вона знаходиться десь поміж цими крайніми позиціями. У відповідності до таких передбачень і використовується критерій коефіцієнта оптимізму (k), який виражає ступінь відчуття оптимізму, особою, що приймає рішення.
Вибирається при цьому стратегія, яка забезпечує:
Y = max [(k×max Rij)+(1-k)×(min Rij)]
де к – коефіцієнт оптимізму
4. Критерій Лапласа
За допомогою трьох попередніх критеріїв стратегія обиралася, виходячи з оцінки результатів станів природи і практично не враховувалися ймовірності виникнення таких станів. Критерій Лапласа передбачає розрахунки очікуваних ефектів від реалізації кожної стратегії, тобто суми можливих результатів виникнення кожного стану природи помножених на ймовірності появи кожного з них. Вибирається при цьому стратегія, яка забезпечує максимальний очікуваний ефект:
)
Pj – ймовірність настання j-го стану природи
5. Критерій Севіджа (критерій жалю)
Використання цього критерію передбачає, що особа, яка приймає рішення, має мінімізувати свої втрати при виборі стратегії. Іншими словами вона мінімізує свою потенційну помилку при виборі неправильного рішення. Використання критерію жалю передбачає:
1) побудову матриці втрат. Втрати (bij) при цьому розраховуються окремо по кожному стовпцю матриціза формулою:
bij = (max Rij)– Rij
де max Rij – максимальне значення результату по кожному стовпцю
Rij – поточне значення результату
2) вибір кращої стратегії за формулою:
Y = min (max bij)
Приклад виконання завдання
| Стан природи
Стратегія
| S1 | S2 | S3 |
| A1 | |||
| A2 | |||
| A3 |
р1 = 0,3; р2 = 0,5; р3 = 0,2; к = 0,6
1. Приймаємо рішення за критерієм песимізму (правило максимін)
Мінімальне значення стратегії А1 дорівнює 115, А2 – 110, А3 – 130. Максимальним із мінімальних значень має стратегія А3 Саме її за цим критерієм і потрібно реалізовувати.
2. Приймаємо рішення за критерієм оптимізму (правило максимакс)
Максимальне значення стратегії А1 дорівнює 140, А2 – 145, А3 – 165. Найбільшим з максимальних значень є А3 – 165. Цю стратегію потрібно реалізовувати.
3. Приймаємо рішення за критерієм Гурвіца
Y1 (Стратегія А1) = (0,6*140) + (0,4*115) = 84 + 46 = 130
Y2 (Стратегія А2) = (0,6*145) + (0,4*110) = 87 + 44 = 131
Y3 (Стратегія А3) = (0,6*165) + (0,4*130) = 99 + 52 = 151
Максимальне значення має стратегія А3 – 151. Її потрібно обирати
4. Приймаємо рішення за критерієм Лапласа
Y1 (Стратегія А1) = (140*0,3)+(120*0,5)+(115*0,2) = 42+60+23 = 125
Y2 (Стратегія А2) = (145*0,3)+(125*0,5)+(110*0,2) = 43,5+62,5+22 = 128
Y3 (Стратегія А3) = (165*0,3)+(130*0,5)+(150*0,2) = 49,5+65+30 = 144,5
Максимальне значення має стратегія А3 – 144,5. Її потрібно обирати
5. Приймаємо рішення за критерієм Севіджа (критерій жалю)
Розрахунок втрат
| Стратегія | Стан природи | ||
| S1 | S2 | S3 | |
| А1 | b1.1 = 165-140=25 | b1.2 = 130-120 =10 | b1.3 = 150-115=35 |
| А2 | b2.1 = 165-145 = 20 | b2.2 = 130-125=5 | b2.3 =150-110=40 |
| А3 | b3.1 = 165-165=0 | b3.2 = 130-130=0 | b3.3 150-150=0 |
Визначаємо max bij:
Стратегія А1 – 35;
Стратегія А2 – 40;
Стратегія А3 – 0
Мінімальним з цих значень є значення стратегії А3 – 0. Її слід обирати.
Таким чином, однозначно за усіма критеріями потрібно обирати стратегію А3
