Различные формы представления комплексного числа
 | |||||||
 | |||||||
 | |||||||
 | |||||||
упорядоченная алгебраическая тригонометрическая показательная
пара форма форма форма
модуль комплексного числа;
– главное значение аргумента комплексного числа.
Действия над комплексными числами
В тригонометрической и показательной формах
Уравнение окружности с центром в точке 
и радиусом 
1) В декартовых координатах: 
.
2) В комплексной форме: 
, где 
.
3) В параметрической форме: 
, где 
.
4) В комплексно-параметрической форме:
Так как 
, то из 3) 
, где 
.
5) В показательной форме: 
или 
, где .
Элементарные функции в комплексной области
, где 
.
.
Показательная функция
.
.
Тригонометрические функции
.
.
.
.
Связь между показательной и тригонометрическими
Функциями комплексного переменного
– формула Эйлера.
.
Гиперболические функции
Обратные тригонометрические функции
или 
.
Решая это уравнение относительно 
, получаем:
Отсюда имеем:
Решая уравнение 
, получаем:
Аналогично получаем:
Логарифмическая функция
; 
, где 
.
– главное значение логарифма.
, где 
Свойства логарифмической функции
1) 
.
Следствие: 
.
2) 
.
Следствие: 
.
3) 
.
Обобщенная степенная функция
.
Дифференцируемость и аналитичность функции
Необходимые условия дифференцируемости
Если функция 
дифференцируема в точке 
, то 
и 
в точке 
удовлетворяют условиям Коши-Римана
Достаточные условия дифференцируемости
Если функции 
и 
дифференцируемы в точке 
и удовлетворяет условиям Коши-Римана, то функция 
дифференцируема в точке 
.
3) Формулы для вычисления производной функции 
а) 
.
б) 
.
4) Если функция 
дифференцируема в каждой точке области и имеет в области непрерывную производную 
, то она называется аналитической в области.
Ряды в комплексной области
Числовые ряды в комплексной области
;
; (
и 
– числовые ряды).
Теорема 1. Для того чтобы 
сходился и имел сумму 
, необходимо и достаточно, чтобы ряды и 
сходились и имели соответственно суммами числа 
и 
.
Теорема 2. Если 
сходится, то сходится и ряд 
.
(Ряд 
– абсолютно сходящийся ряд).
Справочные сведения о числовых рядах
, (1)
.
Необходимый признак сходимости:
Ряд (1) сходится => 
|
Вывод:
 => Ряд (1) расходится
|
I. Знакоположительные ряды
, 
| Признак сравнения I | Признак сравнения II | ||
 .
(1)  – миноранта,
(2)  – мажоранта.
  (3)
Ряд (2) сходится =>
Ряд (1) сходится.
Ряд(1) расходится =>
Ряд (2) расходится.
|
(2)
Ряды (1) и (2) одновременно сходятся или расходятся. |
II. «Эталонные» ряды к признаку сравнения
| Геометрический ряд | Обобщенный гармонический ряд | ||
|
|
(1)
=> Ряд (1) сходится: 
.
=> Ряд (1) расходится.
(2)
=> Ряд (2) сходится;
=> Ряд (2) расходится.| Признак Даламбера |
(1)  , 
 => ряд (1) сходится,
    => ряд (1) расходится,
 =>?
|
| Радикальный признак Коши |
(1)  , 
  => ряд (1) сходится,
   => ряд (1) расходится,
 =>?
|
Интегральный признак Коши
(1)  ,
 – непрерывная, неотрицательная, убывающая функция на
промежутке  . Тогда
 сходится => ряд (1) сходится,
 расходится => ряд (1) расходится.
|
