Сформулировать третью теорему разложения (3 балла)

Дать определение функции-оригинала (2 балла)

Функцией-оригиналом интегрального преобразования Лапласа называется любая комплексная функция, удовлетворяющая условиям:

;

Кусочно-непрерывна на действительной оси, т.е. она может иметь разрывы только I рода, причем конечный интервал содержит лишь конечное число точек разрыва;

3) f(t) при t имеет ограниченный показатель роста, т.е. существуют такие постоянные M>0 и s, что при t>0.

s₀ – порядок роста функции f(t).

2. Дать определение изображения функции f(t) по Лапласу (2 балла)

Преобразование Лапласа – это интегральное преобразование, которое определяется соотношение

– интеграл Лапласа. Изображение интегрального преобразования Лапласа называют также изображением по Лапласу.

Сформулировать свойство линейности преобразования Лапласа (1 балл)

Сформулировать теорему подобия (1 балл)

, то для

Сформулировать теорему запаздывания (1 балл)

тогда :

Сформулировать теорему смещения (1 балл)

тогда :

Сформулировать теорему о дифференцировании оригинала (2 балла)

пусть – функция оригинал – также функции оригинал –показатель роста , тогда:

Сформулировать теорему об интегрировании оригинала (2 балла)

Если , то

Сформулировать теорему о дифференцировании изображения (2 балла)

пусть – функция оригинал

Сформулировать теорему об интегрировании изображения (2 балла)

Если - сходится, то

Сформулировать теорему умножения (теорему о свертке) (2 балла)

Если , тогда

12. Записать решение задами Коши ЛДУ с постоянными коэффициентами с нулевыми на­чальными условиями с помощью передаточной функции (3 балла)

Дано:

Рассмотрим:

13. Записать решение задачи Коши ЛДУ с постоянными коэффициентами с нулевыми на­чальными условиями с помощью интеграла Дюамеля (3 балла)

Дано:

Рассмотрим:

Сформулировать первую теорему разложения (3 балла)

Если аналитична в окрестности , имеет нудь в бесконечно удаленной точки, то она является изображением:

Сформулировать вторую теорему разложения (3 балла)

Каждая рациональная функция , у которой степень числителя меньше степени знаменателя является изображением, а оригинал будет следующей функцией , где:

и многочлены относительно степени .

В случае простых нулей

Сформулировать третью теорему разложения (3 балла)

Пусть – аналитическая всюду в за исключением конечной или счетной последовательности точек являются ее изолированными особыми точками все эти точки располагаются в некоторой левой полуплоскости Пусть

1) послед. такая, что

2) – абсолютно интегрируется вдоль любой вертикальной прямой

Тогда является изображением функции оригинала