Аффинные и векторные пространства.
Криволинейные и лагранжевы координаты.
| Глава 2. Кинематика точки. Описание движения точки в декартовых координатах. Описание движения точки в криволинейных координатах. Коэффициенты Ламе. Проекции скорости точки на оси криволинейной системы координат. Проекции ускорения точки на оси ортогональной криволинейной системы координат. Описание движения точки в естественных координатах. Натуральный тpиэдp, проекции ускорения точки на оси натурального триэдpа. Определение радиуса кривизны траектории точки по ее движению. |
| Глава 3. Кинематика твердого тела. Твердое тело. Число степеней свободы положения. Поступательное движение твердого тела. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Формула Эйлера и ее следствие. Плоское движение твердого тела. Преобразование координат в плоском движении. Геометрические теоремы о плоском движении. Центр скоростей. Центроиды. Теорема Пуансо. Ускорение точек твердого тела в плоском движении. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Задание движения через углы Эйлера. Геометрические теоремы о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Проекции угловой скорости и ускорение точек тела, имеющего неподвижную точку. |
| Глава 4. Сложное движение. Сложное движение точки. Основные понятия. Относительная производная. Теоремы сложения скоростей и сложения ускорений. Сложное движение твердого тела. Теорема о сложении угловых скоростей. |
| Глава 5. Уравнения движения и основные законы динамики механической системы. Сила и масса. Второй и третий законы Ньютона. Законы сил. Две задачи динамики. Работа силы и теорема об изменении кинетической энергии материальной точки. Условия потенциальности силового поля. Теорема об изменении главного вектора количества движения механической системы. Уравнение движения центра масс механической системы. Теорема об изменении кинетического момента механической системы. Кинетическая энергия системы и теорема Кёнига. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы. Движение точки в центральном поле сил. Интегралы уравнений движения. |
| Глава 6. Динамика твердого тела. Основные законы динамики твердого тела. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Уравнения движения свободного твердого тела. Динамические уравнения Эйлера для твердого тела. Интегрирование уравнений в случае Эйлера. Интегрирование уравнений в случае Лагранжа. Интегрирование уравнений в случае Ковалевской. Стационарные вращения. Регулярная прецессия. |
| Глава 7. Динамика точки с переменной массой. Уравнение Мещерского движения точек и тела переменной массы. Две задачи Циолковского о движении ракеты. |
| Глава 8. Общее уравнение механики. Связи, реакции. Обобщенные координаты. Идеальные связи. Общее уравнение механики и принцип возможных перемещений. Общее уравнение механики в лагранжевых координатах. |
| Глава 9. Уравнения Лагранжа. Уравнения Лагранжа II рода, их инвариантность. Первые интегралы. Разрешимость уравнений Лагранжа II рода относительно старших производных. Обобщенный потенциал и уравнения Лагранжа II рода. Малые колебания около положения равновесия. Устойчивость. |
| Глава 10. Канонические уравнения механики. Вывод канонических уравнений. Первые интегралы канонических уравнений. Интеграл механической энергии. Циклические координаты и отвечающие им первые интегралы. Метод Пуассона построения первых интегралов. Глава 11. Управление в задачах механики. Постановка задач управления. Оптимальность. Вариационные принципы. Вариация функционала действия. Необходимые условия экстремума функционала. Принцип максимума Понтрягина. Применение к линейным задачам. Управляемая гамильтонова система. Управляемая система с малым параметром. Фазовое пространство и фазовые траектории для автономной системы уравнений. Фазовый портрет для консервативной системы с одной степенью свободы. Движение под действием упругой силы. Точки покоя и устойчивость, фазовый портрет. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Оптимальное гашение колебаний по быстродействию или по затратам. Фазовый портрет. Оптимальное управление вращательным движением по быстродействию или по затратам. |
Дополнительные вопросы к экзамену
Статика
- - Дайте определение силы, линии действия силы, системы сил (плоской, пространственной, сходящейся, произвольной).
- - Что называется проекцией силы на ось, на плоскость?
- - Чему равна и как направлена сила трения скольжения?
- - Дайте определение момента силы относительно центра.
- - Что такое пара сил? Можно ли заменить пару сил равнодействующей?
- - Дайте определение главного вектора и главного момента произвольной системы сил и запишите соответствующие формулы.
- - Дайте определение цента тяжести. Как определяют координаты центра тяжести.
- - Дайте определения момента пары сил. Как направлен вектор момента пары сил?
- - Напишите необходимые и достаточные условия равновесия произвольной системы сил.
- - Чем отличается главный вектор от равнодействующей произвольной системы сил?
- - В каком случае момент силы относительно данной точки равен нулю?
- - В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю?
Кинематика
- - Дайте определение вектора скорости точки.
- - Дайте определение вектора ускорения точки.
- - Напишите формулу для скорости точки при векторном способе задания движения.
- - Напишите формулы для скорости точки при координатном способе задания движения.
- - Напишите формулу для скорости точки при естественном способе задания движения.
- - Напишите формулу для ускорения точки при векторном способе задания движения.
- - Напишите формулы для ускорения точки при координатном способе задания движения.
- - Абсолютная, относительная и переносная скорости точек. Теорема сложения скоростей
- - Абсолютное, относительное и переносное ускорения точки. Теорема сложения ускорений
- - Какую точку плоской фигуры называют мгновенным центром скоростей (МЦС)?
- - Как определить скорость точки плоской фигуры с помощью МЦС?
- - Какие существуют способы определения положения МЦС?
- - Как определяется ускорение Кориолиса?
- - Как связаны между собой угол поворота тела, угловая скорость и угловое ускорение при вращении вокруг неподвижной оси?
- - Как определяют скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?
- - Как определяют ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?
- - Углы Эйлера и определение углового положения твердого тела.
- - Что такое мгновенная ось вращения, мгновенная угловая скорость, мгновенное угловое ускорение?
Динамика
- - Законы Ньютона и две основные задачи динамики материальной точки.
- - Аналитическое задание связи, классификация связей.
- - Возможные и действительные перемещения точки. Каковы их обозначения
- - Обобщенные координаты. Число степеней свободы. Конфигурационное пространство.
- - Обобщенные силы. Способы их определения.
- - Вычислить кинетическую энергию при плоскопараллельном движении твёрдого тела.
- - Вычислить кинетическую энергию при поступательном движении твёрдого тела.
- - Вычислить работу силы тяжести.
- - Вычислить работу упругой силы.
- - Дайте определение и запишите формулу возможной работы силы.
- - Какие связи называются идеальными?
- - Дать определение кинетической энергии точки и механической системы.
- - Дать определение количества движения точки и механической системы.
- - Дать определение момента количества движения материальной точки и механической системы относительно центра.
- - Дать определение силового поля.
- - Дать определение силовой функции и потенциальной энергии системы.
- - Дать определения мощности силы, элементарной работы силы и работы силы на конечном перемещении.
- - Дифференциальные уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
- - Дифференциальные уравнения Эйлера твердого тела с одной неподвижной точкой.
- - Напишите теорему о движении центра масс механической системы.
- - Напишите теорему об изменении кинетической энергии механической системы.
- - Напишите теорему об изменении количества движения механической системы.
- - Напишите теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента).
- - Напишите уравнения Лагранжа 2-го рода.
- - Какие силы называются потенциальными?
- - Напишите уравнения Лагранжа II рода в случае потенциального поля сил.
- - Что такое функция Лагранжа.
- - Изложите способы вычисления обобщенных сил.
- - Циклические координаты. Циклические интегралы.
- - Что называется потенциальной энергией и как определяется ее значение?
- - Напишите закон сохранения полной механической энергии системы.
- - Элементарная работа и мощность силы.
- - Момент инерции относительно произвольной оси, проходящей через данную точку.
- - Эллипсоид инерции. Главные оси инерции твердого тела.
- - Напишите динамические уравнения Эйлера.
- Напишите уравнения Гамильтона.
- - Циклические интегралы для уравнений Гамильтона.
