Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерения.

Исключение грубых ошибок измерений.

Трудность обнаружения грубых ошибок обусловлена следующим обстоятельством. Если число измерений мало, то доверительный интервал широк, и даже значительные отклонения от среднего в него укладываются. Если же велико, то возрастает вероятность того, что хотя бы одно измерение сильно отклонится от среднего на «законных основаниях», т. е. случайно.

Методы исключения грубых погрешностей измерений для малых выборок изложены в материалах лекционного курса. Для их практического применения необходимо иметь специальные статистические таблицы. При обработке наблюдений в системе Mathcad, более удобен иной подход, основанный на использовании распределения Стьюдента. Он пригоден для проверки однородности наблюдений, как для малых, так и больших выборок. Состоит он в следующем.

Пусть произведено независимых измерений и вычислены значения эмпирического среднего и стандарта . Сомнительный элемент выборки, резко отличающийся от других, будем обозначать через . Это «крайний» элемент выборки, то есть или .

В основе рассматриваемого метода лежит тот факт, что критические значения максимального относительного отклонения

(1)

выражаются через квантили распределения Стьюдента с степенями свободы:

. (2)

На практике обычно вычисляются два значения при и :

, .

Этими значениями вся область изменения разбивается на три интервала:

1) ;

2) ; (3)

3) .

Для наблюдений, попавших в первый интервал, отклонения от эмпирического среднего объясняются влиянием случайных факторов; они не отбрасываются. Наблюдения, попавшие во второй интервал можно исключить, если имеются какие-либо дополнительные соображения в пользу их ошибочности. Наконец, наблюдения, попавшие в третий интервал, всегда отбрасываются как грубо ошибочные.

Проверка гипотезы о нормальности распределения результатов измерения.

Приближенный метод проверки нормальности распределения основан на вычислении по результатам измерения эмпирических оценок коэффициентов асимметрии

, ,

эксцесса

,

и их дисперсий

, .

Если эмпирические оценки коэффициентов асимметрии и эксцесса удовлетворяют неравенствам

, (4)

то гипотеза о нормальности наблюдаемого распределения принимается, в противном случае гипотеза отклоняется.

Если выборка достаточно велика, применяются иные критерии согласия, наиболее надежным и универсальным из которых является критерий Пирсона . Применяя данный критерий необходимо выполнить следующие действия.

• Область возможных значений случайной величины разбивается на конечное число () непересекающихся интервалов:

.

При выборе количества интервалов можно руководствоваться теми же соображениями, что и в первой лабораторной работе при построении гистограмм.

• Для каждого интервала подсчитывается число элементов выборки, попавших в данный интервал.
• Вычисляется теоретическая вероятность попадания в -й интервал при нормальном законе распределения вероятностей

,

где - функция стандартного нормального распределения.

• Проверяется выполнение условия для всех интервалов; интервалы, для которых это условие не выполнено, объединяются с соседними интервалами.
• Вычисляется сумма

, (5)

имеющая приближенно - распределение с степенями свободы.

• При заданной доверительной вероятности ( - уровень значимости) и числе степеней свободы вычисляется (или находится по таблицам) критическое значение критерия . Если

, (6)

то гипотеза принимается, т. е. можно считать, что распределение вероятностей рассматриваемой серии измерений не отличается от нормального.

Необходимо помнить, что статистическими методами гипотезу можно только отклонить или принять, но не доказать. При этом могут быть допущены ошибки первого и второго рода.

 

Порядок выполнения задания