Контрольная работа
В различных практических исследованиях приходится находить эмпирические функции по отдельным значениям этих функций, полученным на основании опытных данных (измерений). Один из способов получения таких функций–метод наименьших квадратов. Пусть, например, в результате наблюдений составлена таблицу отдельных значений величин x и у:
| 
| … | 
| … | 
|
| … | … |
Необходимо установить функциональную зависимость между величинами x и у. Эта зависимость будет приближённой. Её называют эмпирической зависимостью между x и у, т.е. полученной по результатам наблюдений, эксперимента.
Наиболее просто проблема решается в том случае, когда связь между x и у разыскивают в виде линейной зависимости, выражающейся линейным уравнением
.
В этом случае задача состоит в поиске таких чисел a и b, при которых функция являлась бы наиболее точным приближением нашей зависимости среди всех других линейных функций.
Для этого составляют сумму 
и подбирают параметры а и b так, чтобы функция S(a,b) принимала наименьшее значение, т.е. чтобы сумма квадратов погрешностей 
была наименьшей(отсюда и название метода). Так как значения линейной функции
отличаются от табличных значений 
, то 
будут отличны от нуля.
В курсе высшей математики показывается, что а и b находятся из системы уравнений 
Решая эту систему, найдем а и b и подставив их в уравнение
получим эмпирическую функцию исследуемой зависимости.
Этот метод широко используется в научных исследованиях и практических разработках. Эмпирические зависимости можно искать и в виде более сложных функций, чем линейная, при этом уровень достоверности результатов возрастает.
Покажем как решается эта проблема в Excel и простые, но эффективные способы графического представления результатов на примере следующей задачи.
Задание. Изучается динамика выноса вещества из почвы с урожаем. По результатам отчётов и наблюдений получена таблица значений количества y выноса вещества со временем x.
|
|
| 1,5 | 2,5 | 3,5 | 4,5 | 5,5 | |||||
|
| 10,25 |
1). Построить гистограмму количества y выноса вещества со временем x, указать тренд; указать название гистограммы и осей, сделать подписи данных и заливку.
2). Методом наименьших квадратов найти эмпирическую функцию 
, где 
- время наблюдений, - количество выноса вещества а) в виде линейной, б) в виде полиномиальной при n=2(квадратичной); изобразить график каждой функции;
3). Вычислить табличные значения по каждому из трендов а) и б).
4). Вычислить значения 
(интерполяция) и 
(экстраполяция).
Пример решения. 1). Построить гистограмму количества y выноса вещества со временем x, указать тренд; указать название гистограммы и осей, сделать подписи данных и заливку.
|
| 1,5 | 2,5 | 3,5 | 4,5 | 5,5 | |||||
|
| 10,25 |
2). Методом наименьших квадратов найти эмпирическую функцию , где - время наблюдений, - количество выноса вещества а) в виде линейной, б) в виде полиномиальной при n=2(квадратичной); изобразить график каждой функции.
|
| 1,5 | 2,5 | 3,5 | 4,5 | 5,5 | |||||
|
| 10,25 |
а) в виде линейной зависимости:
б) в виде полиномиальной при n=2(квадратичной
3). Вычислить табличные значения по каждому из трендов а) и б).
4). Вычислить значения (интерполяция) и (экстраполяция).
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ
| Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 | Вариант 4 |
 
|  
|  
|  
|
| Вариант 5 | Вариант 6 | Вариант 7 | Вариант 8 |
 
|
 
|
 
|
 
|
| Вариант 9 | Вариант 10 |
 
|
 
|
