Рекомендации по выполнению экзаменационной работы

ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ

Например, есть такое умножение: 3·3·3·3= 243
Тройка пять раз умножена сама на себя, или, если выразиться математически правильно, взята сомножителем 5 раз. В этом случае говорят: «Число 3 возведено в 5-ую степень». Записывают так: 3⁵ = 243

Тройка называется основанием степени, а пятерка (она поменьше размером и пишется сверху) называется показателем степени. Значит: возвести число в степень – это взять основание степени сомножителем столько раз, каков показатель степени. Например,

2¹ = 2 3¹ = 3

2² = 2·2 =4 3² = 3·3 =9

2³ = 2·2·2 = 8 3³ = = 27

2⁵ = 2·2·2 ·2·2 = 32 3⁵ = 3·3·3 ·3·3 = 243

Не поленитесь, напишите еще столбики для других оснований степени (особенно полезно, если напишите и постараетесь запомнить вторые степени для чисел второго десятка – 11, 12, 13, 14, 15)
Для чего же может пригодиться действие возведения в степень? Например, требуется найти площадь квадрата, сторона которого равна 4 м.

Его площадь S = 4·4 = 16 см ².
Это весьма распространенная задача, поэтому говорят не «четыре во второй степени», а «четыре в квадрате»; не «возвести во вторую степень», а «возвести в квадрат».

 

А как найти объем бака, имеющего форму куба? V = 5·5·5 = 125 м³.

Третью степень так и называют – «кубом», и говорят «пять в кубе». Остальные степени собственных названий не имеют, называются просто числом. Любое число в 1-ой степени – есть само это число. Поэтому число 1 в показателе степени не пишется, а только подразумевается.

Две противоположности

Действие сложение имеет противоположное действие вычитание. Действие умножения имеет противоположное действие деление. А есть ли противоположности у действия возведения в степень? Есть! И не просто есть, а есть целых две противоположности. Как это? Давайте разберемся.

Напишем еще раз 3⁵ = 243. А теперь возьмем кусочек бумаги и будем поочередно закрывать каждое из трех чисел.

1. Вопрос: сколько будет 3 в пятой степени? Ответ на этот вопрос дает действие возведения в степень 3 в 5-ой степени = 243

2. Вопрос: какое число, возведенное в пятую степень, будет равно 243? Ответ на этот вопрос дает действие извлечения корня

3. Вопрос: в какую степень надо возвести число 3, чтобы получилось 243? Ответ на этот вопрос дает действие нахождения логарифма log ₃ 243 = 5.

Таким образом, мы выяснили, что эти три действия очень тесно связаны между собой. КОРНИ и ЛОГАРИФМЫ – это два действия, противоположные СТЕПЕНИ.

КОРНИ

Итак, обратимся к корню. Корень изображается так:

Сам значок называют «знаком корня» или «радикалом». Число 5, стоящее на полочке радикала, называют «показателем корня», число 243 – «подкоренным». Извлечь корень n -ой степени из какого-то числа a – это значит найти такое число, которое будучи возведенным в n -ую степень, станет равно a. х = → х ^п = а.

Мы написали список степеней с основаниями 2 и 3; можно сделать аналогичный список для корней.

= 2, т.к. 2² = 4 = 3, т.к. 3² = 9

= 3, т.к. 3³ = 27 = 2, т.к. 2³ = 8

= 3, т.к. 3⁴ = 81 = 2, т.к. 2⁴ = 16

= 3, т.к. 3⁵ = 243 = 2, т.к. 2⁵ = 32

 

ЛОГАРИФМЫ

Пишется так: log ₃ 243 = 5.

Говорится так: «логарифм по основанию 3 от числа 243». Тройка (маленькая и пишется чуть ниже) называется «основанием логарифма», а число 243 так и называют «числом». Найти логарифм – это значит найти показатель степени, в которую надо возвести основание логарифма, чтобы получить стоящее под логарифмом число.
Примеры: Логарифмы по основанию 2

log ₂4 = 2 поскольку 2 ² = 4

log ₂8 = 3 поскольку 2 ³ = 8

log ₂16= 4 поскольку 2 ⁴ = 16

log ₂32= 5 поскольку 2 ⁵ = 32

 

Логарифмы по основанию 3

log ₃9 = 2 поскольку 3 ² = 9

log ₃27 = 3 поскольку 3 ³ = 27

log ₃81= 4 поскольку 3 ⁴ = 81

log ₃243= 5 поскольку 3 ⁵ = 243

 

СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ

То, что было выше, это теория, так сказать, фундаментальная. А теперь поговорим о теории прикладной, необходимой для решения заданий.

Рассмотрим 7 свойств степеней. Их надо запомнить и научиться применять

1) а ⁰ = 1. Любое число в нулевой степени равно 1. Это свойство нелегко укладывается в голове. Непонятно вообще – как это возвести число в нулевую степень, то есть умножить само на себя 0 раз. Но не будем заморачиваться, а примем на веру это свойство. Например, 2⁰ = 1, 15385⁰ = 1.

2) а^х · а^у = а^{х + у} . Если умножаются степени с одинаковыми основаниями, то показатели степени складываются. Например, 2³·2⁵ = 2³⁺⁵ = 2⁸.

3) а^х: а^у = а^{х - у} . Если делятся степени с одинаковыми основаниями, то показатели степени вычитаются.

Например, 3⁸·3⁵ = 3^8-5 = 3³.

4) (а^х) ^у = а ^{х · у} . При возведении степени ещё раз в степень показатели степеней перемножаются.

5) Возведение в степень произведения и дроби: (а·b) ^х = а^х·b^х; (а:b)^х = а^х:b^х.

6) Отрицательная степень а ^–х = . Надо запомнить: отрицательная степень легко превращается в дробь, у которой в числителе 1, а в знаменателе та же самая степень, но только уже положительная.

7) . Дробная степень – это корень, у которого подкоренное выражение а^х, а показатель корня у. например, = 2, = = 3, = = 4. Это позволяет одно и то же число представлять в виде степени с дробным показателем, либо в виде корня. А так же легко переводить из одного вида в другой, в который нам удобнее по условию задачи. А ещё такой плюс: не надо учить и свойства степени и свойства корней. Достаточно выучить только семь перечисленных свойств степеней, а если попадутся корни – их можно всегда свести к степеням.

 

Решение типовых примеров

№1. Вычислите значение выражения 45 – 2 ·

Решение: Сначала представим корень в виде степени (по свойству №7) = . Затем произведение двух сомножителей, представляющих собой степени с одинаковыми основаниям, преобразуем по свойству №2: = = = 11¹ =11.

Ну, и запишем по порядку всё, что получилось: 45 – 2 ·11 = 45 – 22 = 23. Ответ: 23.

№2. Вычислите значение выражения: 14 – ·

Решение: Задание почти то же самое. Только сначала число 196 представим как 14².

А дальше = = = (показатели степени, как и любые, дроби можно сокращать).

Затем · = = = 14¹ = 14. И наконец, 14 – 14=0. Ответ: 0.

№3. Вычислить значение выражения: 20 –

Решение: Здесь смущает, что основания степеней не одинаковые, даже совсем не похожие. А так ли уж они не похожи?

169 = 13²; = = = = ; 0,52 = = .

А теперь применим свойство степеней №5 – произведение степеней с одинаковыми показателями

20 – = = 20 – = 20 – 13 = 7. Ответ: 7.

 

 

Разберём теперь основные свойства логарифмов. Попробуем их количество уменьшить по возможности, выделим только 4 свойства.

1) Основное логарифмическое тождество: . Мы говорили, что логарифм – это показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить х. Пример: , потому что log ₂ 8 = 3, 2³ = 8.

2) Логарифм произведения и дроби log_а (х ₁· х ₂) = log_а х ₁·+ log_а х ₂; log_а (х ₁: х ₂) = log_а х ₁·– log_а х ₂. Это свойство важное и часто применяется.

3) Логарифм степени log_а х ^р = р · log_а х. С помощью этого свойства легко избавиться от степени под знаком логарифма.

Отметим ещё без нумерации два очевидных свойства логарифма. Мы их не нумеруем, потому что и так легко запомним.

Во – первых а ¹ = а, то log_а а = а. Словами: если основание и число под логарифмом одинаковые, то этот логарифм равен 1.

Во – вторых, так как любое число в нулевой степени равно 1, то log_а 1= 0. Логарифм по любому основанию от единицы равен 0.

Решение типовых примеров:

№4. Найдите значение выражения log ₂200 + log ₂ .

Решение: Используя свойство логарифмов №2 получим

log ₂(200 · ) = log ₂8 = 3, так как 2³ = 8. Ответ: 8.

№5. Найдите значение выражения log ₅135 – log ₅5,4.

Решение: Пример похож на предыдущий, используя свойство логарифмов №2 получим

log ₅135 – log ₅5,4 = log ₅(135:5,4) = log ₅25 = 2, так как 5² = 25. Ответ: 2.

№6. Найдите значение выражения:

Решение: Сначала распишем во второму свойству степеней

· = 81 · 2 = 162.

(Вычисляем 9² = 81, а второй сомножитель по основному логарифмическому тождеству равен 2). Ответ: 162.

 

 

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ЭКЗАМЕНАЦИОННОЙ РАБОТЫ

 

Контрольная работа состоит из 2 вариантов. Номер варианта соответствует последней цифре шифра студента (если номер нечетный выполняется 1 вариант, если номер четный выполняется 2 вариант). Работа, выполненная не по своему варианту, не проверяется.