Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Замечание: если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, то есть четыре точки могут не лежать в одной плоскости.   Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).
Замечание: Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

 

Теорема 1. (первое следствие из аксиом) Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.
Теорема 2. (второе следствие из аксиом) Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

 

1. Решение задач.

Задача №1.

Верно ли утверждение: если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в плоскости?

 

Решение:

Утверждение неверно. Достаточно привести контрпример. Пусть окружность с диаметром AB лежит в плоскости , которая пересекается с плоскостью по прямой AB. Тогда точки A и B окружности лежат в плоскости , но вся окружность не лежит в этой плоскости.

Задача №2.

 

Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой. Верно ли утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости? Ответ обосновать.

Решение:

Утверждение верно. Действительно, пусть Согласно первому следствию из аксиом через прямую и точку D проходит единственная плоскость . Все четыре точки лежат в плоскости .

 

 

Задача №3.

Докажите, что все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются. Вычислите площадь четырехугольника, если AC BD, AC = 10 см, BD = 12 см.

Решение:

Согласно второму следствию из аксиом, пересекающиеся прямые AC и BD определяют некоторую плоскость . Прямая АС лежит в плоскости , следовательно все ее точки, в том числе А и С, принадлежат этой плоскости: Аналогично имеем: так как то

Воспользуемся формулой , где - диагонали четырехугольника, а - угол между ними: .

Ответ: .

 

· Каждая ли точка дуги окружности принадлежит плоскости, если известно, что этой плоскости принадлежит:
a. Две различные точки дуги.
b. Три различные точки дуги.

· Сколько различных плоскостей можно провести:
a. Через одну точку.
b. Через две различные точки.
c. Через три различные точки.
d. Через четыре точки, никакие три из которые не принадлежат одной прямой?

· Даны две пересекающиеся прямые. Верно ли утверждение, что любая прямая, пересекающая обе данные прямые, лежит с ними в одной плоскости?

· Может ли пересечение сторон угла с плоскостью быть одной точкой, двумя различными точками, тремя различными точками?

· Столяр с помощью двух нитей проверяет будит ли устойчиво стоять на полу изготовленный стол, имеющий четыре ножки. Как он это делает.

Контрольные вопросы и задания:

 

Задача №1.

 

Верно ли утверждение: если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

 

Задача №2.

 

Даны две пересекающиеся прямые. Верно ли утверждение, что все прямые, пересекающие данные, лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.

 

Задача №3.

 

Дан прямоугольник ABCD, О – точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки A, B, O лежат в плоскости .

Вычислите площадь прямоугольника, если AC = 8 см, .