Основные теоремы о пределах.

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Л е к ц и я 9

БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ФУНКЦИИ.

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПРЕДЕЛОВ.

ПЛАН

Бесконечно малая функция (б.м.ф.) и ее свойства.

Бесконечно большая функция (б.б.ф.), связь между б.б. и б.м. функциями.

Основные теоремы о пределах.

Сравнение бесконечно малых.

 

Бесконечно малая функция (б.м.ф.) и ее свойства.

Определение.Функция называется бесконечно малой при , если

. (1)

По определению предела функции равенство (1) означает: для любого числа найдется число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Аналогично определяется б.м.ф. при , , , : во всех этих случаях .

Бесконечно малые функции часто называют бесконечно малыми величинами или бесконечно малыми; обозначают обычно греческими буквами , и т. д.

Примерами б.м.ф. служат функции при ; при ; при , .

Другой пример: , , — бесконечно малая последовательность.

При решении задач пользуются теоремами о бесконечно малых, которые формулируются ниже.

Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.

Теорема 2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.

Следствие 1. Так как всякая б.м.ф, ограничена, то из теоремы (2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.

Следствие 2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.

Теорема 3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.

 

Бесконечно большая функция (б.б.ф.), связь между б.б. и б.м. функциями.

Определение. Функция называется бесконечно большой функцией (б.б.ф.) при , если

или при .(2)

По определению предела функции равенство (2) означает:

если для любого произвольно большого числа , такое, что для любого , , удовлетворяющего условию , следует, что .

 

Теорема о связи бесконечно малой и бесконечно большой функциями.Теорема 4. Если функция — бесконечно малая (), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция — бесконечно большая, то — бесконечно малая.

Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией.

Теорема 5. Если функция имеет предел, равный , то ее можно представить как сумму числа и бесконечно малой функции , т. е. если , то .

Теорема 6 (обратная). Если функцию можно представить в виде суммы числа и бесконечно малой функции , то число является пределом функции , т. е. если , то .

Основные теоремы о пределах.

Рассмотрим теоремы, которые облегчают нахождение пределов функции. Формулировка и доказательство теорем для случаев, когда и аналогичны. В приводимых теоремах будем считать, что пределы и существуют.

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

.

Теорема справедлива для алгебраической суммы любого конечного чи­сла функций.

Следствие. Функция может иметь только один предел при .

Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению их преде­лов:

Теорема 3. Предел постоянной функции равен самой постоянной.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Теорема 4. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел зна­менателя, если предел знаменателя не равен нулю:

().