Если даны две точки плоскости 
и 
, то вектор 
имеет следующие координаты:
Если даны две точки пространства 
и 
, то вектор имеет следующие координаты:
То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.
Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора 
. Формулы в конце урока.
Пример 1
Даны две точки плоскости 
и 
. Найти координаты вектора
Решение: по соответствующей формуле:
Как вариант, можно было использовать следующую запись:
Эстеты решат и так: 
Лично я привык к первой версии записи.
Ответ: 
По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь:
Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:
Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.
Координаты же вектора – это его разложение по базису 
, в данном случае 
. Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .
Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: 
, а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.
Дамы и господа, набиваем руку:
Пример 2
а) Даны точки 
и 
. Найти векторы и .
б) Даны точки 
и 
. Найти векторы 
и 
.
в) Даны точки 
и 
. Найти векторы 
и 
.
г) Даны точки 
. Найти векторы 
.
Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.
Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =)
Как найти длину отрезка?
Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.
Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка 
можно вычислить по формуле 
Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле 
Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: 
и 
, но более стандартен первый вариант
Пример 3
Даны точки 
и . Найти длину отрезка .
Решение: по соответствующей формуле:
Ответ: 
Для наглядности выполню чертёж
Отрезок – это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ 
можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.
Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:
Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».
Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:
Читаем!!!
Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня. В результате вычислений у нас получился результат 
и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: 
. Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.
Вот другие распространенные случаи:
Нередко под корнем получается достаточно большое число, например 
. Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: 
. Да, разделилось нацело, таким образом: 
. А может быть, число 
ещё раз удастся разделить на 4? 
. Таким образом: 
. У числа 
последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: 
. В результате:
Готово.
Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.
В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.
Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:
Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.
Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:
Пример 4
Даны точки 
и 
. Найти длину отрезка .
Решение и ответ в конце урока.
Как найти длину вектора?
Если дан вектор плоскости 
, то его длина вычисляется по формуле 
.
Если дан вектор пространства 
, то его длина вычисляется по формуле 
.
Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора.
Пример 5
Даны точки и . Найти длину вектора .
Я взял те же точки, что и в Примере 3.
Решение: Сначала найдём вектор :
По формуле вычислим длину вектора:
Ответ: 
Не забываем указывать размерность – «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? С моей точки зрения, лишним не будет, отсутствие приближенного значения тянет на придирку. Округление целесообразно проводить до 2-3 знаков после запятой.
Выполним чертеж к задаче:
В чём принципиальное отличие от Примера 3? Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости.
А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка равна длине вектора . Так же очевидно, что длина вектора будет такой же. По итогу: 
Задачу 3 можно было решить и вторым способом, повторю условие: Даны точки и . Найти длину отрезка .
Вместо применения формулы , поступаем так:
1) Находим вектор .
2) А теперь ссылаемся на то, что длина отрезка равна длине вектора :
Этот способ широко практикуется в ходе решений задач аналитической геометрии.
Вышесказанное справедливо и для пространственного случая
Для тренировки:
Пример 6
а) Даны точки 
и 
. Найти длину вектора .
б) Даны векторы 
, 
, 
и 
. Найти их длины.
Решения и ответы в конце урока.
