Простейшие стационарные процессы

МОДЕЛИРОВАНИЕ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ

СтационарнЫХ случайных процессов

 

Цель работы: освоить основные понятия теории случайных процессов; научиться моделировать простейшие стационарные процессы; научиться строить выборочную корреляционную функцию.

Теоретическая часть

Основные понятия СП

Случайной функцией называется функция неслучайного аргумента, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Случайным процессом называют случайную функцию аргумента , который истолковывается как время.

Одномерной функцией распределения случайного процесса называется неслучайная функция вида

.

Математическим ожиданием случайного процесса называется неслучайная функция, которая при любом значении аргумента равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса . Дисперсией случайного процесса называется неслучайная функция, которая при любом значении аргумента равна дисперсии соответствующего сечения .

Корреляционной функцией случайного процесса называется неслучайная функция двух аргументов и , которая при каждой паре значений аргументов и равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса: и .

.

Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если его математическое ожидание и дисперсия постоянны, а корреляционная функция есть функция сдвига между аргументами: .

Одномерная функция распределения стационарного в широком смысле случайного процесса не зависит от времени: .

Стационарный СП называется эргодическим, если для него осреднение по ансамблю реализаций может быть заменено осреднением по времени по одной реализации. Т.е. по любой одной достаточно длинной реализации мы можем судить о свойствах всех реализаций СП.

Достаточное условие эргодичности по математическому ожиданию (теорема Слуцкого):

.

Следствие: если , то случайный процесс является эргодическим.

Простейшие стационарные процессы

Процесс авторегрессии 1-го порядка AR(1)

,

где - параметр авторегрессии, - дискретное время, - независимые от значения случайной величины с нормальным распределением . Для стационарного процесса AR(1) выполняются следующие соотношения:

, ,

корреляционная функция ,

нормированная корреляционная функция .

 

Гармонический сигнал со случайной фазой -

случайный процесс вида , где -случайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке , и - константы, определяющие амплитуду и частоту. Теоретические значения характеристик процесса:

, ,

корреляционная функция ,

нормированная корреляционная функция .

 

Обобщенный телеграфный сигнал -

случайный процесс , который может принимать только два значения: 1 и -1. Моменты времени изменения значения процесса образуют простейший пуассоновский поток событий с интенсивностью (среднее число смен значений за единицу времени). Теоретические значения характеристик процесса:

, ,

корреляционная функция ,

нормированная корреляционная функция .

 

Последовательность независимых случайных величин -

случайный процесс , сечения которого в любой момент времени представляют собой независимые случайные величины с одинаковым законом распределения. Теоретические значения характеристик процесса:

, ,

корреляционная функция ,

нормированная корреляционная функция .